Контрольная по математике

Дифференцирование сложной ФНП

Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.

Прежде чем вычислять производную сложной функции, рекомендуется сначала написать формулу в общем виде, а затем
подставить конкретные функции. Например, , где  – сложная функция,  имеет один независимый аргумент  и два промежуточных аргумента  и , поэтому производная сложной функции по ее независимому аргументу имеет вид  или ; обращаем внимание на
различие знаков   и .

ПРИМЕР. Написать формулы для производных сложных функций:

а) , ; б) , , ;

в) , , , , .

Диффенцирование неявно заданной функции

Найти частные производные функции , заданной неявно уравнением  в окрестности точки .

Различают несколько постановок задачи на нахождение экстремума ФНП

Исследовать на локальный экстремум .

Абсолютный экстремум ФНП Допустимая точка  называется точкой абсолютного минимума (или максимума) ФНП ,  в задаче (*), если
выполняется условие:    или  .

Интегрирование функций нескольких переменных ФНП   рассматривается на некотором множестве , , . Пусть  – ограниченное, связное и замкнутое множество точек из ; впредь для краткости такое множество  будем называть фигурой . Интеграл ФНП по фигуре  строится в зависимости от количества независимых переменных ФНП и структуры (вида) фигуры

Понятие интеграла ФНП Для построения интеграла ФНП  по фигуре , , используется следующая процедура построения интегральной суммы и переход к пределу.

В зависимости от числа независимых переменных функции, размерности и меры фигуры интеграл  имеет различное представление, интерпретацию и способ счета.

Теорема необходимое условие существования определенного интеграла

Пусть , ,  – множество точек из , т.е. .

Ответ. а) промежуточная переменная –  (одна!), независимые
переменные –   (три!), поэтому имеем для сложной функции  формулы вычисления частных производных: ; ; ;

б) для сложной функции  один независимый аргумент – ; три промежуточных аргумента – . Поэтому
полная производная сложной функции по  вычисляется по формуле ;

в) аналогично имеем

.

В рассмотренных примерах предполагается, что в окончательный результат подставлены значения промежуточных переменных через независимые аргументы.

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Вычислить производные сложных функций:

1) , , , ;

2) , , ;

3) , , ;

4) , , .

Ответ. 1) ;

2)

3) ;

4) , ,  ищем

. Далее
следует подставить значения ;  и преобразовать выражение; производная сложной функции  есть функция от .

2-й способ. Имеем

.  (8)

По следствию из теоремы сравнения интеграл  расходится, так как  при .

Что касается интеграла , то для его исследования используем признак Дирихле (теорема 4), так как подынтегральная функция не является знакопостоянной. Имеем:

функция  непрерывна, а функция   непрерывно дифференцируема на промежутке ; далее

1) первообразная функции  равна  и, следовательно, ограничена на промежутке ;

2) функция  монотонно убывает на промежутке ;

3) .

Следовательно, по признаку Дирихле интеграл  сходится. Учитывая, что интеграл  расходится, а интеграл  сходится, из (8) получим, что интеграл  расходится.

Ответ: интеграл  расходится.

в) .

Решение. Имеем . Легко доказать, что . Тогда

.  (9)

Очевидно, что . Так как интеграл  сходится, то из неравенств (9) и теоремы сравнения следует

Ответ: интеграл  сходится.


Модные и фирменные барышни легкого поведения возле метро Митино имеют великий опыт, проведут секс-ритуал на дому и отправят дорогого потребителя в мир секса. | Элегантные проститутки с объемами аккуратного размера стараются на полную. Русские индивидуалки будут уместным решением. Лишь эти дамы способны всецело ублаготворить заказчика.