Физика
Геометрия
Математика
Курсовая
Конспекты
Контрольная
Информатика
Контрольная
Задачи
Инженерная графика
Сети
Типовики
Сопромат
Архитектура
Электроника
Карта

Контрольная по математике

Некоторые свойства интеграла ФНП

1. Если   на , то интеграл  равен значению
меры фигуры , т.е. , например,  длине дуги ;  объему тела и т.д.

2. Вычисление интеграла функции является линейной операцией, т.е. , , , ,

;

предполагается существование всех встречающихся здесь интегралов. Свойство линейности объединяет свойства: однородность и
аддитивность по функции.

3. Аддитивность по множеству интегрирования:

если   – интегрируема на  и фигура  разбита на две фигуры  и  так, что  и  – фигура меньшей размерности, то

.

Например,

,

где . Заметим, что для определенного интеграла написанное равенство верно и для ; предполагается существование
входящих интегралов.

4. Сравнение интегралов:

если    и обе функции интегрируемы на ,
то .

Частные случаи. 1) Оценка интеграла: если существуют числа  и  такие, что  , то .

2) Для любой интегрируемой функции  на  имеет место неравенство

.

3) Выражение  называется средним значением интегрируемой функции , , на множестве .

Среднее значение на множестве  непрерывной на  функции ,  равно ее значению в некоторой точке  фигуры .

В самом деле, если  – ограниченное связное замкнутое
множество; ,  – непрерывная на  функция, то можно взять , . Тогда из неравенства  по свойствам непрерывной функции имеем

(промежуточное значение между  и  достигается в некоторой точке на ).

Итак, среднее значение непрерывной на  функции  
достигается в некоторой точке на .

Например, среднее значение  на , равное , достигается в точке , поскольку  и

.

г) .

Решение. Имеем . Поэтому точка  не является особой точкой подынтегральной функции. Значит, интеграл  является несобственным интегралом 1-го рода.

Так как функция  не является непрерывной в точке , то для дальнейшего исследования интеграл   разобьем на два интеграла:

.  (19)

Если подынтегральную функцию доопределить нулем в точке , то она становится непрерывной на отрезке . Следовательно,   - интеграл Римана и он существует.

Что касается интеграла , то его мы исследуем на абсолют ную и условную сходимость.

Докажем сначала, используя признак Дирихле, что интеграл  сходится. Действительно,

1) функция  непрерывна на промежутке ; ее первообразная  (проверить) - ограничена;

2) функция  непрерывно дифференцируема на промежутке  и монотонно убывает ;

3) .

Рассмотрим теперь интеграл .

Имеем . Точно так же, как в задаче б) доказывается, что интеграл  расходится. Следовательно, по теореме сравнения интеграл  расходится.

Таким образом, мы имеем: интеграл  расходится, а интеграл  сходится. Отсюда следует, что интеграл  сходится условно.

Учитывая (19) и то, что интеграл Римана  существует, отсюда получаем

Ответ: интеграл  сходится условно.