Физика
Геометрия
Математика
Курсовая
Конспекты
Контрольная
Информатика
Контрольная
Задачи
Инженерная графика
Сети
Типовики
Сопромат
Архитектура
Электроника
Карта

Контрольная по математике

Функция нескольких переменных

ПРИМЕР Для функции  представить на плоскости  множество точек  ее существования; указать свойства этого множества.

Решение. , т.е. . Геометрически это множество представляется точками, заполняющими вертикальный угол между прямыми  и , точка  должна быть выброшена.

Свойства множества :

1)   – не открытое множество, так как можно указать точку, например, , которая принадлежит множеству, но не является его внутренней точкой;

2)   – не связное множество, так как не всякие две его точки
можно соединить непрерывной кривой, состоящей из точек множества , например точки  и ;

3)   – неограниченное множество, так как , ;

4)   – незамкнутое множество, так как оно не содержит все свои предельные точки, например точка  – предельная точка для , но .

ПРИМЕР 5. Для функции  представить в пространстве переменных  множество точек ее существования; указать свойства этого множества.

Решение. .

Множество  состоит из всех точек шара (без границы – сферы)
с радиусом 1 и центром в начале координат.

Свойства :  – открытое, связное, ограниченное,
не замкнутое множество.

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Найти и построить множество точек определения функции:

а) ;  б) .

Указать свойства этих множеств.

2. Построить схематично график функции  на
множестве .

3. Построить график функции  на области ее определения.

Ответы. 1. а) точки полосы  выше и на прямой ; множество не открытое, связное, не ограниченное, не замкнутое;

  б) все точки шара с центром в  с радиусом ; множество не открытое, связное, ограниченное, замкнутое.

Свойства множеств следует не только перечислить, но и обосновать.

2.   – параболоид вращения, вершина на оси  в точке , расположен ниже плоскости ; ось симметрии – ось . Над кругом  "вырезается" криволинейная часть параболоида.

3.  – нижняя часть () конической
поверхности с осью симметрии – прямой  и вершиной .

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.

Теорема 1 (теорема сравнения). Пусть для всех  выполняются неравенства . Тогда:

а) если интеграл  сходится, то интеграл  также сходится;

б) если интеграл  расходится, то интеграл  расходится.

Следствие. Пусть:

1) ;

2)  при .

Тогда интегралы  и  сходятся или расходятся одновременно.

Заметим, что в исследованиях несобственных интегралов на сходимость при применении теоремы сравнения или ее следствия часто используются так называемые "эталонные" несобственные интегралы  (см. пример 1, п. 1.1.) и  (см. пример 3, п. 1.2.).