Контрольная по математике

Геометрические свойства интеграла ФНП

Возможное геометрическое представление интегральной суммы  функции  на , а затем и интеграла  определяют геометрические свойства интеграла и перечень некоторых возможных задач, решаемых с помощью интеграла.

1. Площадь плоской фигуры

а) Пусть на плоскости  задана криволинейная трапеция
(см. ранее в п. 2.2). Тогда ее площадь можно вычислить с помощью определенного интеграла , здесь  на .

Если фигура есть комбинация криволинейных трапеций, то ее площадь находится через соответствующие операции над площадями составляющих криволинейных трапеций. В частности, при нахождении площади фигуры , заданной неравенствами  (см. рисунок), можно применить формулу

.

 

Площадь части криволинейной поверхности  считается с помощью поверхностного интеграла

Некоторые механические приложения интеграла ФНП Масса фигуры (отрезка, дуги, плоской фигуры, части криволинейной поверхности, тела)

Вычисление интеграла  рассмотрим подробно в зависимости от  и .

Для подынтегральной функции  определенный интеграл с переменным верхним пределом определяет первообразную на .

Типовые задачи Вычисление  проводится по формуле Ньютона – Лейбница, если известна какая-либо первообразная подынтегральной функции. Если для вычисления первообразной применяется "интегрирование по частям", то эту операцию можно проводить сразу и для определенного интеграла: .

Для понимания формулы достаточно провести параллельный перенос оси   на  с тем, чтобы кривые  и  были расположены выше оси.
И тогда площадь заданной фигуры находится через площадь криволинейной трапеции, т.е.

.

Иногда область  удобнее проектировать на ось  и задать неравенствами  (см. рисунок). В этом случае площадь фигуры  считается по формуле .

б) Площадь плоской фигуры  можно вычислить с помощью двойного интеграла:  (при  на  ), т.е. .

2. Длина дуги считается с помощью криволинейного интеграла

.

Если дуга задана параметрически  , то , поэтому  переходит в  для дифференцируемых на  функций , ,  и поэтому в указанном случае

.

Заметим, что если дуга плоская, например  то  ( – параметр) и длина дуги считается по
формуле

.

д) .

Решение. Интеграл  - несобственный интеграл 2-го рода, особая точка .

. Пусть . Имеем . Известно, что  сходится при  (см. пример 3). Следовательно, по теореме сравнения интеграл  сходится, а значит, интеграл  сходится абсолютно при .

. Пусть теперь . В интеграле  сделаем замену переменной , или . Это возможно, так как

1) функция  непрерывна на промежутке ;

2) функция  удовлетворяет следующим условиям:

 а) непрерывно дифференцируема на промежутке ;

 б) строго возрастает;

в) .

Тогда

.  (20)

) Докажем сначала, что интеграл  расходится при . Используем следствие из критерия Коши:

если существует такое , что для любого  существуют такие , что выполняется неравенство

,  (21)

то интеграл  расходится.

Имеем

,  (22)

Если , то . Имеют место неравенства . Отсюда и из (22) получим

. (23)

Теперь в (21) положим . Используя (23), имеем

.

Напомним, что .

Таким образом, для любого  существуют  такие, что выполняется неравенство (21) при .

Итак, при  интеграл  расходится, а значит, расходится и интеграл  (см. (20)).

) Докажем теперь, что интеграл  сходится условно при .

Для доказательства сходимости интеграла  используем признак Дирихле:

1) функция  непрерывна на промежутке  и ее первообразная  ограничена;

2) функция  непрерывно дифференцируема на промежутке  и монотонно убывает; действительно,

 

отсюда следует, что возрастает, следовательно,  убывает;

3) .

Тогда интеграл  сходится.