Физика
Геометрия
Математика
Курсовая
Конспекты
Контрольная
Информатика
Контрольная
Задачи
Инженерная графика
Сети
Типовики
Сопромат
Архитектура
Электроника
Карта

Контрольная по математике

Геометрические свойства интеграла ФНП

Возможное геометрическое представление интегральной суммы  функции  на , а затем и интеграла  определяют геометрические свойства интеграла и перечень некоторых возможных задач, решаемых с помощью интеграла.

1. Площадь плоской фигуры

а) Пусть на плоскости  задана криволинейная трапеция
(см. ранее в п. 2.2). Тогда ее площадь можно вычислить с помощью определенного интеграла , здесь  на .

Если фигура есть комбинация криволинейных трапеций, то ее площадь находится через соответствующие операции над площадями составляющих криволинейных трапеций. В частности, при нахождении площади фигуры , заданной неравенствами  (см. рисунок), можно применить формулу

.

 

Площадь части криволинейной поверхности  считается с помощью поверхностного интеграла

Некоторые механические приложения интеграла ФНП Масса фигуры (отрезка, дуги, плоской фигуры, части криволинейной поверхности, тела)

Вычисление интеграла  рассмотрим подробно в зависимости от  и .

Для подынтегральной функции  определенный интеграл с переменным верхним пределом определяет первообразную на .

Типовые задачи Вычисление  проводится по формуле Ньютона – Лейбница, если известна какая-либо первообразная подынтегральной функции. Если для вычисления первообразной применяется "интегрирование по частям", то эту операцию можно проводить сразу и для определенного интеграла: .

Для понимания формулы достаточно провести параллельный перенос оси   на  с тем, чтобы кривые  и  были расположены выше оси.
И тогда площадь заданной фигуры находится через площадь криволинейной трапеции, т.е.

.

Иногда область  удобнее проектировать на ось  и задать неравенствами  (см. рисунок). В этом случае площадь фигуры  считается по формуле .

б) Площадь плоской фигуры  можно вычислить с помощью двойного интеграла:  (при  на  ), т.е. .

2. Длина дуги считается с помощью криволинейного интеграла

.

Если дуга задана параметрически  , то , поэтому  переходит в  для дифференцируемых на  функций , ,  и поэтому в указанном случае

.

Заметим, что если дуга плоская, например  то  ( – параметр) и длина дуги считается по
формуле

.

д) .

Решение. Интеграл  - несобственный интеграл 2-го рода, особая точка .

. Пусть . Имеем . Известно, что  сходится при  (см. пример 3). Следовательно, по теореме сравнения интеграл  сходится, а значит, интеграл  сходится абсолютно при .

. Пусть теперь . В интеграле  сделаем замену переменной , или . Это возможно, так как

1) функция  непрерывна на промежутке ;

2) функция  удовлетворяет следующим условиям:

 а) непрерывно дифференцируема на промежутке ;

 б) строго возрастает;

в) .

Тогда

.  (20)

) Докажем сначала, что интеграл  расходится при . Используем следствие из критерия Коши:

если существует такое , что для любого  существуют такие , что выполняется неравенство

,  (21)

то интеграл  расходится.

Имеем

,  (22)

Если , то . Имеют место неравенства . Отсюда и из (22) получим

. (23)

Теперь в (21) положим . Используя (23), имеем

.

Напомним, что .

Таким образом, для любого  существуют  такие, что выполняется неравенство (21) при .

Итак, при  интеграл  расходится, а значит, расходится и интеграл  (см. (20)).

) Докажем теперь, что интеграл  сходится условно при .

Для доказательства сходимости интеграла  используем признак Дирихле:

1) функция  непрерывна на промежутке  и ее первообразная  ограничена;

2) функция  непрерывно дифференцируема на промежутке  и монотонно убывает; действительно,

 

отсюда следует, что возрастает, следовательно,  убывает;

3) .

Тогда интеграл  сходится.