Контрольная по математике

Вычисление интеграла ФНП.

Типовые задачи

ПРИМЕР . Вычислить интеграл .

Решение. Введем замену переменной , где , ; ; ;  на ; , .

Получаем

.

2) Среднее значение интеграла, оценка интеграла

ПРИМЕР 3. Для криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми  и , кривой , найти равновеликий прямоугольник с основанием  на .

Решение. Высотой такого прямоугольника является отрезок длиной

.

ПРИМЕР 4. Оценить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция  – убывающая на , поскольку  на . Поэтому  и . Точное значение интеграла можно найти, но вычисления сопровождаются громоздким счетом:

  или .

Откуда

.

Видим, что полученная оценка интеграла является грубой,
поскольку промежуток интегрирования  "достаточно велик".

Задача 11. Вычислить .

Решение. Имеем

,

где . Отсюда

.  (37)

Здесь . Заметим, что при любом  интеграл   сходится и, следовательно,  конечно. Имеем

. (38)

Так как , то . Учитывая (38), отсюда имеем

.  (39)

Из формул (37) и (39) получаем

Ответ: .