Контрольная по математике

Вычисление интеграла ФНП.

Типовые задачи

Вычисление объема тела

Пусть в пространстве задано тело, проекцией которого на ось  является отрезок  и при любом , , известно значение площади "поперечного" сечения тела плоскостью  . Тогда объем этого тела можно получить, переходя от интегральной суммы  к
интегралу .

Здесь , ,  – разбиение  отрезка  на частичные отрезки  с длинами , ,  – произвольно выбираемые точки на

Представим на рисунке область  и выберем способ счета.
Поскольку переход к явному заданию границы фигуры затруднен,
а кроме того, есть комбинация переменных , то разумно
перейти к полярным координатам  Получим  или  – уравнение лемнискаты (см. в 7.7.1 пример 7). Используя симметрию фигуры, вычисляем площадь .

ПРИМЕР 5. Вычислить площадь фигуры , ограниченной кривыми , , ,  при .

Решение.

.

Пример. Найти частные производные функции .

Решение. Считая, что  – независимая переменная, , находим:

.

Считая, что  – независимая переменная, а , находим:

Полным приращением функции  называется разность

.

Главная часть полного приращения функции , линейно зависящая от приращений независимых переменных  и , называется полным дифференциалом и обозначается . Если функция имеет непрерывные частные производные, то

 ,

где  – приращения независимых переменных, называемые их дифференциалами. С точностью до бесконечно малых величин высшего порядка относительно  и  верно равенство . Последнее применяется для нахождения приближенного значения функции в точке:

 .

Функция  , где , называется сложной функцией переменных . Для нахождения частных производных сложных функций используются следующие формулы:

 .