Физика
Геометрия
Математика
Курсовая
Конспекты
Контрольная
Информатика
Контрольная
Задачи
Инженерная графика
Сети
Типовики
Сопромат
Архитектура
Электроника
Карта

Контрольная по математике

Предел, непрерывность ФНП

Понятие предела функции многих переменных (сокр. ФНП) вводится в предельной точке области определения функции.

Пусть   – предельная точка множества , т.е. в каждой ее
окрестности находится хотя бы одна точка из , отличная от . Тогда , если выполняется соотношение

.

Это определение можно расшифровать для  – конечное
число или , для  – конечная точка или , расписывая
множества , , , .

Построить схематично график функции   на множестве :

Для функции  представить на плоскости  множество точек  ее существования; указать свойства этого множества.

Иногда удобно использовать переход от переменных  и  к полярным координатам. В частности, условие  (одновременно и независимо друг от друга) преобразуется в условие  при всяком  (независимо от ; сразу для всех ).

Многие теоремы о пределах, рассмотренные подробно для функции одной переменной (сокр. ФОП), могут быть перефразированы и доказаны для ФНП. Это прежде всего теорема об единственности предела (конечного), теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел при , теорема "об арифметике" функций, имеющих конечные пределы при  и т.д. Приемы вычисления предела ФОП также могут быть использованы для ФНП.

Показать, что функция   непрерывна в точке   по каждой координате  и , но не является непрерывной в точке  по совокупности переменных.

Пусть , , . Частные производные первого порядка функции  вводятся соответственно соотношениям

Записать уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке .

Некоторые свойства интеграла ФНП

При рассмотрении предела ФНП следует обратить внимание на условие . Здесь предполагается, что координаты  точки  стремятся к соответствующим координатам предельной
точки  одновременно и независимо друг от друга. Если рассматривать поочередное стремление ,  при фиксированном значении всех остальных координат, то получим так называемые повторные пределы. Существование предела ФНП в точке (по совокупности переменных) не связано с существование
повторных пределов.

ПРИМЕР 1. Доказать по определению .

Решение. Берем . Ищем  так, чтобы

.

Верно соотношение

.

Выберем, например, . Тогда ,  , , т.е. по определению предела ФНП в точке имеем .

ПРИМЕР 2. Показать, что функция  не имеет
предела при .

Решение. Существование предела ФНП в точке определяет стремление функции к одному и тому же числу при "различных приближениях" точки  к предельной точке. В нашем случае имеем , , т.е. существуют кривые, двигаясь по которым к , получаем в пределе для рассматриваемой функции разные значения. Это означает, что функция не имеет предела при .

Заметим, что для рассматриваемой функции, двигаясь к  по любой прямой   или  , получим одно и то же значение предела. Но при произвольном стремлении  функция не имеет предела.

КРИТЕРИЙ КОШИ СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

Теорема 2 (критерий Коши). Для того, чтобы несобственный интеграл   сходился, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:

.

Следствие. Если существует такое , что для любого  существуют такие , что выполняется неравенство , то интеграл  расходится.