Контрольная по математике

Вычисление интеграла ФНП.

Типовые задачи

Механические приложения

ПРИМЕР 7. Пластина имеет форму прямоугольника со сторонами длиной   и . Найти массу этой пластины, если ее плотность распределения массы в произвольной точке равна квадрату расстояния от точки до одной из вершин пластины.

Решение. Введем прямоугольную систему координат так, что начало координат совпадает с вершиной, а стороны прямоугольника расположены на осях координат (см. рисунок).

Тогда  , масса пластины

.

ПРИМЕР 8. Найти центр тяжести пластины примера 7.

Решение. Координаты центра тяжести материальной фигуры ищем по формулам   и . Значение массы пластины можно считать известным (см. пример 7).
Вычислим соответствующие статистические моменты:

.

.

Поэтому ;

.

В частности, если , то центр
тяжести квадрата с   есть точка , где  
(см. рисунок).

7.7.4. Вычисление поверхностных интегралов 1 рода
(по площади поверхности)

В таблице–расшифровке  для  и фигуры  – поверхности  рассмотрен случай явного задания поверхности уравнением ; в этом случае поверхностный интеграл  сводится к двойному интегралу

по проекции  поверхности  на плоскость  с использованием уравнения  поверхности .

Аналогично:

если поверхность  задана уравнением , где  – проекция поверхности  на , то поверхность  удобно проектировать на плоскость , при этом , где  – угол между нормалью  к  в какой-либо точке и
ортой   (оси ). В качестве нормали  к частичной поверхности можно взять градиент функции , т.е. . Тогда  и ,  и 

,

т.е. поверхностный интеграл сведен к двойному интегралу по проекции поверхности на координатную плоскость с использованием соответствующего уравнения (в явной форме) поверхности.

Аналогично рассуждаем и в случае, когда поверхность  удобно проектировать на плоскость .

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Числовым рядом называется выражение

  (1)

где   – числа, называемые членами ряда.

Сумма   первых членов называется n-й частичной суммой ряда

.

В частности, .

Каждому числовому ряду соответствует последовательность  его частичных сумм. Если существует конечный предел

,

то число  называется суммой ряда (1), а ряд (1) называется сходящимся. Если последовательность  не имеет конечного предела, то ряд (1) называется расходящимся.

Пример. Рассмотрим ряд

Члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем  и первым членом   

При , значит ряд расходится.

При  . Найдем .

При   

и, следовательно, ряд сходится к сумме .

При   ряд расходится, т.к. предел

.

При   ряд расходится, т.к. предел   не существует.

При :  следовательно, предел  не существует и ряд расходится.