Контрольная по математике

Вычисление интеграла ФНП.

Типовые задачи

Вычисление площади криволинейной поверхности

ПРИМЕР. Вычислить площадь частей сферы , лежащих внутри цилиндра .

Решение. Цилиндр  "вырезает" из сферы две части:  – соответственно для  и  – для ; они
равновелики.

Воспользуемся формулой , где  – проекция поверхности  на плоскость ; ;  для , т.е. . Проведем счет в полярных координатах.
В силу симметрии поверхности  ее площадь , где

.

Площадь частей сферы внутри цилиндра

.

7.7.5. Вычисление тройных интегралов проводим для специального вида областей интегрирования – правильных в направлении одной из осей координат.

Так, например, область ,  называется правильной в направлении оси , если всякая параллельная оси  прямая
пересекает границу области  не более чем в двух точках. В этом случае область  ограничена снизу и сверху поверхностями  и  соответственно, а "с боков" – возможно цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси  и
направляющей – границей области  – проекцией тела  на плоскость  (см. рисунок). Вычисление тройного интеграла в рассматриваемом случае проводится по формуле

,

при этом сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной ( и  предполагаются неизменяющимися) как определенный
интеграл, а затем вычисляется двойной интеграл от полученной функции от  и  по области .

Аналогично формулируются правила вычисления тройного интеграла по области, правильной в направлении оси  и соответственно правильной в направлении оси .

Если область , , не является правильной в направлении какой-либо оси, то ее разбивают на части, каждая из которых правильная в направлении какой-либо оси, и проводят счет.

При исследовании рядов одним из основных вопросов является вопрос о том, сходится данный ряд или расходится.

Необходимый признак сходимости ряда. Если числовой ряд (1) сходится, то .

Необходимый признак применяется для доказательства расходимости ряда: если -й член ряда не стремится к нулю при , то ряд расходится.

Пример. Ряд  расходится, так как имеем , .

Ряд   называется гармоническим и является расходящимся рядом, для которого необходимое условие сходимости выполнено, т.е. необходимый признак не является достаточным.

Приведем несколько достаточных признаков сходимости знакоположительных рядов, т.е. рядов, все члены которых положительны.

Признак сравнения. Если даны два знакоположительных числовых ряда

  , (2)

  , (3)

 и выполняется , то:

– если ряд (3) сходится, то (2) сходится;

– если ряд (2) расходится, то и ряд (3) расходится.