Контрольная по математике

Вычисление интеграла ФНП.

Типовые задачи

ПРИМЕР 1. Вычислить интеграл , где  – призма, ограниченная координатными плоскостями , ,  и плоскостью .

Решение. Спроектируем  на плоскость , получим  и .

Поэтому

.

Вычислить интеграл , где   – шаровое кольцо .

Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом .

Замена переменных в тройном интеграла может быть проведена по правилу:

пусть функции , ,  реализуют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение замкнутой области  пространства  на замкнутую область  пространства .
Тогда (см. [1, 6]) справедлива формула

,

где   – якобиан преобразования.

В цилиндрической системе координат  
(,  – полярные координаты), , , ,
и поэтому

.

ПРИМЕР 2. Записать тройной интеграл от функции  на
области , ограниченной поверхностями  и .

Решение. Поверхности – парабалоиды вращения, пересекаются по окружности   Проводить счет удобно в цилиндрической системе координат

.

В сферической системе координат   – длина радиуса вектора точки , ;
  – угол между положительной полуосью   и радиусом–вектором точки , ;  – полярный угол .

Якобиан перехода равен , и поэтому для вычисления тройного интеграла в сферической системе координат нужно задать область интегрирования  в пространстве сферических координат, записать подынтегральную функцию через переменные ,  и , умножить ее на  и провести вычисление повторного интеграла.

Предельный признак сравнения. Если даны два знакоположительных ряда (2) и (3) и существует конечный и не равный нулю предел , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Признак Даламбера. Если для знакоположительного ряда (2) существует конечный предел , то:

– при   ряд (2) сходится;

– при   ряд (2) расходится;

– при   неопределенный случай.

Признак Коши. Если для знакоположительного ряда (2) существует конечный предел , то:

– при   ряд (2) сходится;

– при   ряд (2) расходится;

– при   неопределенный случай.

Интегральный признак Коши. Пусть члены ряда (2) положительны и не возрастают, т.е. , и пусть  – такая непрерывная невозрастающая функция, что  тогда, если несобственный интеграл  сходится, то и ряд (2) сходится, если же несобственный интеграл расходится, то и ряд (2) расходится.

Ряд   называется обобщенным гармоническим рядом. Он сходится при  и расходится при .

Ряд, среди членов которого имеются как положительные, так и отрицательные, называется знакопеременным.

Пусть дан знакопеременный ряд

  (4)

Рассмотрим ряд, составленный из модулей его элементов

  (5)

Если ряд (5) сходится, то ряд (4) тоже сходится и называется абсолютно сходящимся; если ряд (5) расходится, а ряд (4) сходится, то знакопеременный ряд (4) называется условно (неабсолютно) сходящимся рядом.

При исследовании ряда на абсолютную сходимость используются достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

Если ряд (4) сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов получается ряд абсолютно сходящийся. При этом сумма нового ряда не изменится.

Если ряд (4) сходится условно, то для любого числа  можно так переставить члены ряда, что сумма нового ряда окажется равной . Кроме того, можно так переставить члены ряда, что новый ряд станет расходящимся.