Контрольная по математике

Типовые задачи

Вычисление криволинейных интегралов I рода

ПРИМЕР 1. Вычислить интеграл , если  , , .

Решение. Сводим криволинейный интеграл к определенному с
использованием уравнения дуги ( – параметр, ).

.

ПРИМЕР 2. Вычислить , где дуга  есть отрезок , , .

Решение. Зададим  в параметрической форме, для этого найдем уравнение прямой  , откуда  . Поэтому имеем

.

 Вычисление двойного интеграла  удобнее производить в полярной системе координат, если область интегрирования представляет круг, кольцо или часть таковых, а подынтегральная функция содержит выражение вида . Пусть область  ограничена лучами ,  и кривыми . Тогда в двойном интеграле можно перейти к полярным координатам:

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией  .

Решение. Перейдем к полярной системе координат, используя формулы перехода  Тогда уравнение линии примет вид:

, .

Построим кривую. Учитывая симметрию фигуры, получим . Здесь  – фигура, для которой .

.