Контрольная по математике

Типовые задачи

Вычисление криволинейных интегралов I рода

Длина дуги

а)  Длина дуги в декартовых координатах

ПРИМЕР 3. Вычислить длину одного витка винтовой линии , , .

Решение. Винтовая линия – траектория точки, "поднимающейся" по круговому цилиндру со скоростью . Длину одного витка  найдем, если вычислим

.

б) Длина плоской дуги в полярных координатах

Пусть ,  – дуга на плоскости  ().
Выведем формулу для вычисления ее длины.

Поскольку  параметр , то

. Поэтому

.

ПРИМЕР 4. Вычислить длину кардиоиды

.

Решение. Используя симметрию кривой, получим

.

Криволинейный интеграл по длине дуги

(криволинейный интеграл первого рода)

Если кривая задана параметрическими уравнениями   и параметр  изменяется монотонно на отрезке  при перемещении по кривой  из точки  в точку , то криволинейный интеграл по дуге кривой:

.

Если   – график функции , то

.

Пример. Вычислить , где  – отрезок прямой, заключенный между точками .

Решение. Составим уравнение прямой, проходящей через две точки:  или .

.