Контрольная по математике

Типовые задачи

Вычисление криволинейных интегралов I рода

Механические приложения

ПРИМЕР 5. Вычислить массу дуги   
при   – линейной плотности распределения массы по
дуге .

Решение.

.

ПРИМЕР 6. Найти центр тяжести одной арки циклоиды

считая дугу однородной, т.е.  на дуге.

Решение. Циклоида – траектория неподвижной точки окружности, "катящейся" без скольжения по прямой (оси );
в начальный момент времени точка находится в начале координат (см. рисунок).
Поскольку дуга однородная, можно воспользоваться симметрией дуги, тогда

.

Длина арки циклоиды

.

Вычисляем статистический момент дуги относительно оси  :

.

Итак, центр тяжести одной арки циклоиды находится в точке .

Замечаем, что действительно центр тяжести дуги не обязательно расположен на самой дуге.

Криволинейный интеграл по координатам

(криволинейный интеграл второго рода)

Если   – график функции , , то криволинейный интеграл по кривой   при перемещении из точки   в точку  равен

  .

Если кривая  задана в пространстве параметрическими уравнениями  и , то

.

Кроме обычных свойств интеграла отметим, что при изменении направления интегрирования криволинейный интеграл меняет знак на противоположный

.

Криволинейный интеграл II рода численно равен работе, которую совершает переменная сила  на криволинейном пути .