Физика
Геометрия
Математика
Курсовая
Конспекты
Контрольная
Информатика
Контрольная
Задачи
Инженерная графика
Сети
Типовики
Сопромат
Архитектура
Электроника
Карта

Контрольная по математике

Предел, непрерывность ФНП

ПРИМЕР. Иногда удобно использовать переход от переменных  и  к полярным координатам. В частности, условие  (одновременно и независимо друг от друга) преобразуется в условие  при всяком  (независимо от ; сразу для всех ).

Показать, что .

Решение. Перейдем к полярным координатам ,  и тогда  

(независимо от ).

ПРИМЕР 4. Найти повторные пределы функции  при . Существует ли предел этой функции по совокупности переменных?

Решение. Повторные пределы ,  существуют и равны, но предел функции по совокупности переменных не существует, так как при приближении к , например по прямым , предел функции имеет различные значения .

ПРИМЕР 5. Показать, что для  при  существует предел по совокупности переменных, но не существуют повторные пределы.

Решение. Для  и  имеем

.

При  и  . Повторный предел

  не существует,

т.к. не существует предел функции  при .

Аналогично: другой повторный предел не существует.

АБСОЛЮТНО И УСЛОВНО СХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ.

Обозначим  - несобственный интеграл, .

Определение 8. Несобственный интеграл  называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Определение 9. Несобственный интеграл  называется условно сходящимся, если интеграл  расходится, а интеграл   сходится.

Теорема 3. Если несобственный интеграл  сходится, то интеграл  также сходится и имеет место неравенство

.