Контрольная по математике

Типовые задачи

Вычислить повторный интеграл , восстановив область .

Решение. Интеграл вычисляется по :  (см. рисунок).

.

Аналогично: 

если область  – правильная в направлении оси , то ее удобно проектировать на ось . Пусть проекция области  на ось  есть отрезок , уравнение левой границы области , а правой границы – . Тогда для всякого  значение  точек  прямой , принадлежащих области , удовлетворяет неравенствам . Поэтому область  можно
задать в виде

 (см. рисунок).

Такому заданию области соответствует повторный интеграл . Для его вычисления находится сначала внутренний интеграл, а затем внешний.
Результат – число!

Формула Грина.

Пусть  – граница односвязной области . Функции  и их частные производные  и  непрерывны в замкнутой области  (включая ее границу ), тогда имеет место формула Грина, которая устанавливает связь между двойным интегралом по некоторой области  и криволинейным интегралом по границе   этой области:

.

Пример. Вычислить непосредственно и по формуле Грина криволинейный интеграл  если  – контур треугольника с вершинами в точках

Решение. Вычислим непосредственно криволинейный интеграл:

.

  .

(BC) – прямая, проходящая через 2 точки, имеет уравнение:

  или .

.

  .

 .

Вычислим интеграл по формуле Грина, для этого найдем частные производные

  .

 .

Итак, мы получили тот же результат:

 .