Физика
Геометрия
Математика
Курсовая
Конспекты
Контрольная
Информатика
Контрольная
Задачи
Инженерная графика
Сети
Типовики
Сопромат
Архитектура
Электроника
Карта

Контрольная по математике

Предел, непрерывность ФНП

Многие теоремы о пределах, рассмотренные подробно для функции одной переменной (сокр. ФОП), могут быть перефразированы и доказаны для ФНП. Это прежде всего теорема об единственности предела (конечного), теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел при , теорема "об арифметике" функций, имеющих конечные пределы при  и т.д. Приемы вычисления предела ФОП также могут быть использованы для ФНП.

ПРИМЕР 6. Вычислить .

Решение. Преобразуем выражение

, получаем .

ПРИМЕР 7. Вычислить .

Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом , а также вычислим

.

Окончательно получим по теореме "о произведении пределов"

.

ФНП  – непрерывна в точке , если она определена в некоторой окрестности точки  и  или , где , .

Следует различать непрерывность ФНП по совокупности переменных и непрерывность по отдельной координате.

Пример 1. Исследовать сходимость интеграла .

Решение.

а). Имеем

 .

Отсюда следует, что  сходится при  и расходится при .

б). Тогда

Таким образом, интеграл I (1) расходится.

Ответ: интеграл  сходится при  и расходится при .