Контрольная по математике

Геометрическая интерпритация СДУ в нормальной форме и ее решений

Пусть СДУ в нормальной форме  задана в области  – прямое произведение интервала  изменения  и множества  значений координат ; , .

Всякое решение СДУ , может быть представлено как годограф вектор-функции , .
Поскольку компоненты – непрерывные функции на , то годограф  есть непрерывная кривая в . Итак, всякому решению СДУ -го порядка соответствует интегральная кривая ,  в .

Пусть   – произвольное значение аргумента, . Тогда в соответствующей точке  интегральной кривой вектор  определяет направление касательной к интегральной кривой в рассматриваемой точке. Поэтому задание СДУ (4) в области  эквивалентно заданию поля направлений в области . Задача решения СДУ при такой интерпретации сводится к восстановлению интегральных кривых по
известному полю направлений касательных к этим кривым.

Пространство переменных  СДУ в нормальной форме называется фазовым пространством системы. Его структура может быть различной

  Задача КОШИ для СДУ в нормальной форме При рассмотрении прикладной задачи, требующей решения СДУ, как правило, интересует единственное решение. Поэтому нужно уметь выделять из бесконечного множества решений СДУ требуемое решение.

Является ли двухпараметрическое семейство функций ,  общим решением СДУ  

Сведение СДУ к одному ДУ

Свести СДУ  к одному ДУ. Решить ДУ. Записать СДУ и решение СДУ в векторной и векторно-матричной формах.

Метод интегрируемых комбинаций  

СДУ второго порядка сводится к ДУ , откуда   и из первого уравнения , т.е.  – общее решение СДУ.

СДУ в нормальной форме  может быть представлена в виде , симметричном относительно переменных. Так, например, симметричная форма записи СДУ

Достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для СДУ вида

Свойства решений СОЛДУ

Рассмотрим вектор-функции  и . При каждом   и  линейно зависимы, но ни одна из этих вектор-функций не получается из другой умножением на число, т.е. на  эти функции линейно независимые.

Теорема о структуре общего решения СОЛДУ

Некоторые свойства матриц ФСР СОЛДУ

Общее решение СОЛДУ  запишется , где  – произвольный вектор, . При этом задача Коши  имеет единственное решение , поскольку из соотношения  имеем .

Пример Решить СДУ 

Метод Эйлера

Решить СОЛДУ  .

Решить СОЛДУ  .

ПРИМЕР 2.  – СДУ в нормальной форме второго порядка в пространстве переменных  задает поле направлений . Легко проверить, что вектор-функция  
является решением системы на . Ему соответствует интегральная кривая ,  в  – годограф , .

Если   – время, то точка  при ориентированном изменении , , движется по интегральной кривой, ориентируя ее соответствующим образом.

Ориентируемая дуга интегральной кривой СДУ называется траекторией СДУ.

Задача 17. Решить задачу Коши для волнового уравнения , ,,  при  и найти .

Решение. Воспользуемся формулой Даламбера (2.9):

,

где , . Так как , , , получим

.

Тогда.