Физика. Конспекты лекций и примеры решения задач контрольной работы

Скорость

Для характеристики движения материальной точки вводится векторная величина — скорость, которой определяется как быстрота движения, так и его направление в данный момент времени.

Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории так, что в момент времени t ей соответствует радиус-вектор r0 (рис. 3). В течение малого промежутка времени Dt точка пройдет путь Ds и получит элементарное (бесконечно малое) перемещение Dr.

Вектором средней скорости <v> называется отношение приращения Dr радиуса-вектора точки к промежутку времени Dt:

 (2.1)

Направление вектора средней скорости совпадает с направлением Dr. При неограниченном уменьшении Dt средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью v:

Мгновенная скорость v, таким образом, есть векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касательной к траектории в сторону движения (рис. 3). По мере уменьшения Dt путь Ds все больше будет приближаться к |Dr|, поэтому модуль мгновенной скорости

Таким образом, модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени:

  (2.2)

При неравномерном движении — модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. В данном случае пользуются скалярной величиной ávñ — средней скоростью неравномерного движения:

Из рис. 3 вытекает, что ávñ> |ávñ|, так как Ds > |Dr|, и только в случае прямолинейного движения

Если выражение ds = vdt (см. формулу (2.2)) проинтегрировать по времени в пределах от t до t + Dt, то найдем длину пути, пройденного точкой за время Dt:

 (2.3)

В случае равномерного движения числовое значение мгновенной скорости постоянно; тогда выражение (2.3) примет вид

 

Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t1 до t2, дается интегралом

 

Ускорение и его составляющие

случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение.

Рассмотрим плоское движение, т.е. движение, при котором все участки траектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор v задает скорость точки А в момент времени t. За время Dt движущаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от v как по модулю, так и направлению и равную v1 = v + Dv. Перенесем вектор v1 в точку А и найдем Dv (рис. 4).

Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t + Dt называется векторная величина, равная отношению изменения скорости Dv к интервалу времени Dt

Мгновенным ускорением а (ускорением) материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:

Таким образом, ускорение a есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

Разложим вектор Dv на две составляющие. Для этого из точки А (рис. 4) по направлению скорости v отложим вектор , по модулю равный v1. Очевидно, что вектор , равный , определяет изменение скорости за время Dt по модулю: . Вторая же составляющая  вектора Dv характеризует изменение скорости за время Dt по направлению.

Тангенциальная составляющая ускорения

т. е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.

Найдем вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому Ds можно считать дугой окружности некоторого радиуса r, мало отличающейся от хорды АВ. Тогда из подобия треугольников АОВ и EAD следует Dvn/AB = v1/r, но так как AB = vDt, то

В пределе при  получим .

Поскольку , угол EAD стремится к нулю, а так как треугольник EAD равнобедренный, то угол ADE между v и Dvn стремится к прямому. Следовательно, при  векторы Dvn и v оказываются взаимно перпендикулярными. Tax как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор Dvn, перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ускорения, равная

называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).

Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис.5):

Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения — быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории).

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать следующим образом:

1) , аn = 0 — прямолинейное равномерное движение;

2) , аn = 0 — прямолинейное равнопеременное движение. При таком виде движения

Если начальный момент времени t1=0, а начальная скорость v1=v0, то, обозначив t2=t и v2=v, получим , откуда

Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного момента времени t, найдем, что длина пути, пройденного точкой, в случае равнопеременного движения

3) , аn = 0 — прямолинейное движение с переменным ускорением;

4) , аn = const. При  скорость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Из формулы an=v2/r следует, что радиус кривизны должен быть постоянным. Следовательно, движение по окружности является равномерным;

5) ,   — равномерное криволинейное движение;

6) ,  — криволинейное равнопеременное движение;

7) ,   — криволинейное движение с переменным ускорением.

Тела и материя не обладают собственным движением (самодвижением). Постулируется, что единственным способом движения является перемещение (одного) одних тел относительно (другого) других. Поэтому существует только два вида движения: прямолинейное поступательное и вращательное, остальное — их различные сочетания. Иначе говоря, всякое движение по Ньютону есть смена положения движущегося тела относительно других тел, принимаемых за неподвижные, а не относительно себя и окружающего пространства. Постулируется, что всякое движение тел есть последствие какого-то взаимодействия, происходит оно с некоторой скоростью и при отсутствии внешних сил является постоянным прямолинейным, иначе говоря — движением по инерции. Представление о прямолинейном равномерном движении с постоянной скоростью, которое является неявным постулатом, стало основой для возникновения в классической механике постулата об относительности равномерного движения. Эта относительность предполагает равноправие состояния покоя и равномерного прямолинейного движения, т. е. одно и то же тело и в движении, и в состоянии покоя тождественно само себе. Качественное различие между ними отсутствует, так же как и категория качества в механике.

Особенно заметно, как уже упоминалось, отсутствие категории качества при рассмотрении взаимного притяжения тел — закона всемирного тяготения. В нем постулируется, что подъем тела над поверхностью Земли, сопровождаемый изменением внешнего гравитационного поля, не производит никаких перемен в структуре и в количественных параметрах свойств данного тела. В результате разрывается система взаимосвязи притягиваемых тел, тела обосабливаются от свойств, и в первую очередь от массы, которая остается неизменной всегда; исчезает физический характер взаимодействия, а вместе с ним возникает необъяснимость пропорционального изменения потенциальной и кинетической энергии у поднимаемого тела и непонимание физической сущности притяжения.

Выше перечислена только часть постулатов И. Ньютона. К ним можно добавить отсутствие гравиотталкивания и невозможность экранирования гравитационного поля, всемирность тяготения (и, следовательно, одноранговая структура Вселенной), провозглашение направленности сил притяжения между центрами притягиваемых тел — так называемое центральное притяжение, введение без обоснования методов геометрии в механику и приравнивание физических и геометрических размеров в любой области пространства, направленность центростремительных сил к центру вращения, проявление сил только в действии и только при взаимодействии масс; неявно постулируется, что другие свойства тел с силой не связаны и т.д.

Естественно, что все это обилие постулатов почти без изменения входит во все современные физические теории, и, в первую очередь, в теорию гравитации, вызывая постоянное возникновение новых постулатов, усложняя понимание сущности физических явлений и приводя, в конечном итоге, к перманентному кризису всех разделов физики.

Наиболее сложными и наименее понятными вопросами механики Ньютона, если исключить не менее сложное представление об инерции, являются вопросы о возникновении движения, о возможности движения с постоянной скоростью и об относительности этого движения. И хотя большинство ученых не сомневаются в полной разработанности этих вопросов — ведь существует четкий и однозначный математический механизм, описывающий (так же как и явление инерции) количественно все нюансы движения тел в пространстве — эта уверенность еще не доказывает наличия прямолинейного относительного движения тел в природе без взаимодействия с окружающим пространством.

Постулирование же относительности движения может являться не ответом, а только основой для подгонки математического аппарата под определенные эмпирические данные. Гносеологические корни явления относительного движения остаются скрытыми и неясными для понимания, а, следовательно, и для формализации. Это есть следствие того, что в механике Ньютона нет онтологического ответа на вопрос: откуда берется движение и что оно есть как физическое явление? Возможно ли в природе существование прямолинейного движения с постоянной скоростью? И происходит ли в процессе движения взаимодействие тела с окружающим пространством?

Ответ на эти «детские» вопросы дается простым утверждением (т.е. тем же постулатом), что движение есть существующий всегда процесс, а поскольку пространство является не имеющим свойств вместилищем, заполненным самонеподвижным инертным эфиром, то его свойства допускают возможность существования в пространстве, при отсутствии гравитации, прямолинейного перемещения самонеподвижных тел с постоянной относительно «истинно неподвижных» друг к другу других тел скоростью. Причем объективный критерий определения «истинно подвижных» и «истинно неподвижных» тел отсутствует.

При изучении «Начал...» с недоверием воспринимается эта путаница в вопросах, связанных с относительным движением, и создается впечатление, что Ньютон пишет об относительном движении, а думает о его абсолютности, т.е. сам не верит в такую относительность; провозглашает возможность существования самонеподвижного эфира и одновременно заявляет о его отсутствии; вводит пространство — вместилище эфира и тел, а ищет элементы взаимодействия его с телами. И, наконец, в последней фразе с чувством неудовлетворенности, по-видимому, результатами исследования констатирует, что писать что-то конкретное об эфире — тонком дисперсном веществе — рано: слишком мало накоплено эмпирических данных (это не помешало Э. Маху в своей «Механике» заявить, что Ньютон ни разу не упомянул в «Началах...» о существовании эфира).

Чтобы найти ответы на эти вопросы, надо определиться в сущности движения и его месте в системе физических явлений.

Рассмотрим этот вопрос онтологически. Возьмем для примера кусочек мела и часы. Поскольку эти два предмета есть тела, то сначала рассмотрим: одинаковыми или разными свойствами они обладают? И чем принципиально отличаются?


На главную