Физика
Геометрия
Математика
Курсовая
Конспекты
Контрольная
Информатика
Контрольная
Задачи
Инженерная графика
Сети
Типовики
Сопромат
Архитектура
Электроника
Карта

Физика. Конспекты лекций и примеры решения задач контрольной работы

Угловая скорость и угловое ускорение

Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (рис. 6). Ее положение через промежуток времени Dt зададим углом D. Элементарные (бесконечно малые) повороты можно рассматривать как векторы (они обозначаются  или ). Модуль вектора  равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т.е. подчиняется правилу правого винта (рис.6). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения.

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

Вектор  направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т.е. так же, как и вектор  (рис.7). Размерность угловой скорости dim w=T–1, а ее единица — радиан в секунду (рад/с).

Линейная скорость точки (см. рис. 6)

т. е.

В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение:

При этом модуль векторного произведения, по определению, равен , а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от  к R.

Если ( = const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения T — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2p. Так как промежутку времени Dt = T соответствует  = 2p, то   = 2p/T, откуда

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения:

откуда

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор  сонаправлен вектору  (рис.8), при замедленном — противонаправлен ему (рис.9).

Тангенциальная составляющая ускорения

Нормальная составляющая ускорения

Таким образом, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение , нормальное ускорение ) и угловыми величинами (угол поворота j, угловая скорость w, угловое ускорение e) выражается следующими формулами:

В случае равнопеременного движения точки по окружности (e=const)

 

где w0 — начальная угловая скорость.

Задачи

1.1. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s=A+Bt+Ct2+Dt3 (С=0,1 м/с2, D=0,03 м/с3). Определить: 1) время после начала движения, через которое ускорение а тела будет равно 2 м/с2; 2) среднее ускорение áаñ тела за этот промежуток времени. [1) 10 с; 2) 1,1 м/с2]

1.2. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить угол, под которым тело брошено к горизонту, если максимальная высота подъема тела равна 1/4 дальности его полета. [45°]

1.3. Колесо радиусом R=0,1 м вращается так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением w = 2At + 5Bt4 (A = 2 рад/с2 и B = 1 рад/с5). Определить полное ускорение точек обода колеса через t=1 с после начала вращения и число оборотов, сделанных колесом за это время. [а=8,5 м/с2; N=0,48]

1.4. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом r=4 м, задается уравнением an=A+Bt+Ct2 (А=1 м/с2, B=6 м/с3, С=3 м/с4). Определить: 1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время t1= 5 с после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени t2=1 с. [1) 6 м/с2; 2) 85 м; 3) 6,32 м/с2]

1.5. Частота вращения колеса при равнозамедленном движении за t=1 мин уменьшилась от 300 до 180 мин–1. Определить: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время. [1) 0,21 рад/с2; 2) 240]

1.6. Диск радиусом R=10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением j=A+Bt+Ct2+Dt3 (B=1 рад/с, С=1 рад/с2, D=1 рад/с3). Определить для точек на ободе колеса к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение ; 2) нормальное ускорение аn; 3) полное ускорение а. [1) 1,4 м/с2; 2) 28,9 м/с2; 3) 28,9 м/с2]

Чаще всего дается следующий ответ: данные тела имеют различные свойства и этим принципиально отличаются. Естественно, что такой ответ неверен. В полном соответствии с механикой он исходит из независимости свойств друг от друга и из возможности существования у разных тел различных свойств.

Диалектическое единство материальных тел предполагает наличие у всех тел бесконечного набора одних и тех же рядовых взаимозависимых свойств, которые во взаимосвязи и образуют тела. Различие же тел заключается в том, что каждое из составляющих его свойств имеет свою количественную величину, и инвариантная взаимосвязь одинаковых свойств одного тела всегда количественно отличается от аналогичной взаимосвязи свойств другого тела. И это отличие имеет принципиальный характер для понимания сущности физических явлений.

Теперь положим кусочек мела на стол и зададимся вопросом: движется ли мел относительно стола? В ответ на этот вопрос удивительное единство проявляют столь разнородные направления науки, как классическая механика, идеалистическая и материалистическая философии. Они отвечают: нет. Мел относительно стола неподвижен.

Если для классической механики и идеалистической философии этот ответ естествен, то для материалистической философии он просто нелеп. Ответив «нет» и загнав себя в угол противоречием данного ответа основному положению диалектики о движении как форме бытия материи (иначе — материя без движения не существует), материалисты-философы, выкручиваясь из неприятного положения, продолжают: Но!! Ведь стол находится на Земле, а Земля вместе с ним и с мелом, вращаясь, движется по орбите вокруг Солнца, а Солнце, в свою очередь, движется и т.д.

Вот это «но» и фиксирует принципиальное отступление материалистов от диалектики и непонимание этого отступления. Уже одно «но» подчеркивает, что в данном конкретном случае происходит подмена материальной системы — «мел» — другой системой «Земля». А в результате подмены мел, не обладая свойством самодвижения, становится по определению невещественным, нематериаль-ным. Что само по себе абсурд.

Это как раз тот случай, когда, не имея возможности обнаружить движение тела (в данном случае мела) относительно стола и зная, что диалектика предписывает такое движение всем телам, материалист может утверждать, что «да, я не вижу, движется мел относительно стола или нет. Но согласно законам диалектики он должен относительно него двигаться. И придет время, когда способ, посредством которого происходит это движение, будет найден.

Это как раз тот случай, когда диалектика подсказывает физике направление поиска определенного свойства, которым обладают все без исключения тела — свойства самодвижения. А конкретное выражение это самодвижение (как подробнее будет показано ниже) находит в собственной пульсации каждого вещественного тела в зависимости от его фиксируемых свойств, структуры и размеров. И параметры пульсации определяются именно свойствами, структурой и размерами тел.

Поэтому самопульсирующий мел, находящийся на поверхности пульсирующего стола, будет всегда двигаться относительно самого стола и относительно пространства, в котором он находится. Причем период пульсации мела отличается от периода пульсации стола, и, следовательно, это движение будет непрерывным.

Вопрос о периоде и амплитуде пульсации, как и об изменении количественной величины других свойств обоих тел, не является принципиальным ни для физики, ни для философии. Принципиальным является то, что все вещественные тела как относительно самостоятельные физические системы обладают свойством самодвижения — пульсацией, и игнорирование этого свойства в механике, как и в любой физической теории, невозможно.

Самодвижение тел и есть то свойство, которое обусловливает все виды взаимодействия и движения тел, включая перемещение их относительно пространства, других тел и вращения. Вынужденное провозглашение Ньютоном неявного постулата о самонеподвижности тел и инертного вещественного эфирного пространства привело к тому, что механическое движение тел, их перемещение в пространстве, оказалось, невозможно привязать ни к эфиру, ни к пространству, поскольку движущиеся тела не взаимодействовали с ними и оставались тождественными своему состоянию в покое. Именно эта самотождественность самонеподвижных тел в состоянии покоя и в движении привели Ньютона к необходимости искусственным путем, иначе волевым порядком, определять, указывая пальцем, какие тела в пространстве являются истинно покоящимися, а какие — движущимися относительно истинно покоящихся. Естественно, что другой указующий перст может превратить движущиеся тела в неподвижные, а «истинно неподвижные» в движущиеся. Это очень наглядно продемонстрировал А. Эйнштейн в теории относительности введением равнозначности движущихся и неподвижных систем отсчета. Отсутствие в классической механике представления о возможности фиксации неподвижности или движения тел в пространстве и является основой принципа относительности, принципа, отсутствующего в природе, но, тем не менее, занимающего положение станового хребта в современных физических теориях, формализующих процессы взаимодействия и движения тел.

Признание самодвижения тел, а, следовательно, и вещественности пространства, в котором эти тела находятся, несовместимо с принципом относительности уже потому, что предполагает взаимосвязь и взаимодействие любого самоподвижного тела с окружающим его пространством. Поэтому всякое изменение положения этого тела в пространстве, движение его относительно пространства будет сопровождаться изменением форм взаимодействия с пространством, а вместе с ним и собственного самодвижения тела. Период собственной пульсации тела в движении будет отличаться от того периода пульсации, которое оно имеет, когда находится в относительном покое (относительный покой — отсутствие пространственного перемещения тела или перемещения тела относительно других тел, принимаемых за истинно покоящиеся по Ньютону). И говорить о какой бы то ни было самотождественности пульсирующих тел в состоянии покоя и в состоянии движения не приходится. Тело покоящееся всегда качественно отличается от тела движущегося. Поэтому всякое движение тела в пространстве является абсолютным движением взаимодействия движущегося тела с окружающим вещественным пространством.

Таким образом, сущностью движения является свойство постоянного самопульсирования всех тел. Именно оно становится основой всякого перемещения и вращения, а поскольку, как уже говорилось, в процессе перемещения тела в пространстве период его самопульсации изменяется, то изменяются и его взаимодействие с пространством, что обусловливает невозможность равномерного прямолинейного движения с постоянной скоростью, так же как и движение по инерции. И отсюда тоже следует вывод об отсутствии в природе относительного движения.


На главную