Физика. Конспекты лекций и примеры решения задач контрольной работы

Работа и энергия

Энергия, работа, мощность

Энергия — универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др. В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в других — переходит в иную форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое). Однако существенно, что во всех случаях энергия, отданная (в той иди иной форме) одним телом другому телу, равна энергии, полученной последним телом.

Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы.

Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F, которая составляет некоторый угол  с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы Fs на направление перемещения (Fs= Fcos), умноженной на перемещение точки приложения силы:

  (11.1)

В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению, поэтому формулой (11.1) пользоваться нельзя. Если, однако, рассмотреть элементарное перемещение dr, то силу F можно считать постоянной, а движение точки ее приложения — прямолинейным. Элементарной работой силы F на перемещении dr называется скалярная величина

где  — угол между векторами F и dr; ds = |dr| — элементарный путь; Fs — проекция вектора F на вектор dr (рис. 13).

Закон сохранения энергии — результат обобщения многих экспериментальных данных. Идея этого закона принадлежит М. В. Ломоносову (1711—1765), изложившему закон сохранения материи и движения, а количественная формулировка закона сохранения энергии дана немецким врачом Ю. Майером (1814—1878) и немецким естествоиспытателем Г. Гельмгольцем (1821—1894).

Графическом представление энергии Во многих задачах рассматривается одномерное движение тела, потенциальная энергия которого является функцией лишь одной переменной (например, координаты х), т. е. П=П (х). График зависимости потенциальной энергии от некоторого аргумента называется потенциальной кривой. Анализ потенциальных кривых позволяет определить характер движения тела.

Удар абсолютно упругих и неупругих тел Примером применения законов сохранения импульса и энергии при решении реальной физической задачи является удар абсолютно упругих и неупругих тел. Удар (или соударение)—это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Помимо ударов в прямом смысле этого слова (столкновения атомов или биллиардных шаров) сюда можно отнести и такие, как удар человека о землю при прыжке с трамвая и т. д. Силы взаимодействия между сталкивающимися телами (ударные или мгновенные силы) столь велики, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет систему тел в процессе их соударения приближенно рассматривать как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения

Механика твердого тела Момент инерции При изучении вращения твердых тел будем пользоваться понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс л материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси

Момент импульса и закон то сохранения При сравнении законов вращательного и поступательного движений просматривается аналогия между ними, только во вращательном движении вместо силы «выступает» ее момент, роль массы «играет» момент инерции. Какая же величина будет аналогом импульса тела? Ею является момент импульса тела относительно оси.

Свободные оси. Гироскоп Для того чтобы сохранить положение оси вращения твердого тела с течением времени неизменным, используют подшипники, в которых она удерживается. Однако существуют такие оси вращения тел, которые не изменяют своей ориентации в пространстве без действия на нее внешних сил. Эти оси называются свободными осями (или осями свободного вращения). Можно доказать, что в любом теле существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями (они называются главными осями инерции тела).

Деформации твердого тела Рассматривая механику твердого тела, мы пользовались понятием абсолютно твердого тела. Однако в природе абсолютно твердых тел нет, так как все реальные тела под действием сил изменяют свою форму и размеры, т. е. деформируются. Деформация называется упругой, если после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму. Деформации, которые сохраняются в теле после прекращения действия внешних сил, называются пластическими (или остаточными). Деформации реального тела всегда пластические, так как они после прекращения действия внешних сил никогда полностью не исчезают. Однако если остаточные деформации малы, то ими можно пренебречь и рассматривать упругие деформации, что мы и будем делать.

Тяготение. Элементы теории поля Законы Кеплера. Закон всемирного тяготения Еще в глубокой древности было замечено, что в отличие от звезд, которые неизменно сохраняют свое взаимное расположение в пространстве в течение столетий, планеты описывают среди звезд сложнейшие траектории. Для объяснения петлеобразного движения планет древнегреческий ученый К. Птоломей (II в. н. э.), считая Землю расположенной в центре Вселенной, предположил, что каждая из планет движется по малому кругу (эпициклу), центр которого равномерно движется по большому кругу, в центре которого находится Земля. Эта концепция получила название птоломеевой геоцентрической системы мира.

Поле тяготения и напряженность Закон тяготения Ньютона определяет зависимость силы тяготения от масс взаимодействующих тел и расстояния между ними, но не показывает, как осуществляется это взаимодействие. Тяготение принадлежит к особой группе взаимодействий. Силы тяготения, например, не зависят от того, в какой среде взаимодействующие тела находятся. Тяготение существует и в вакууме.

Космические скорости Для запуска ракет в космическое пространство надо в зависимости от поставленных целей сообщать им определенные начальные скорости, называемые космическими.

Работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Эта сумма приводится к интегралу

  (11.2)

Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость силы Fs, от пути s вдоль траектории 1—2. Пусть эта зависимость представлена графически (рис. 14), тогда искомая работа А определяется на графике площадью заштрихованной фигуры. Если, например, тело движется прямолинейно, сила F=const и =const, то получим

где s — пройденный телом путь (см. также формулу (11.1)).

Из формулы (11.1) следует, что при  < /2 работа силы положительна, в этом случае составляющая Fs совпадает по направлению с вектором скорости движения v (см. рис. 13). Если  > /2, то работа силы отрицательна. При  = /2 (сила направлена перпендикулярно перемещению) работа силы равна нулю.

Единица работы — джоуль (Дж): 1 Дж — работа, совершаемая силой 1 Н на пути 1 м (1 Дж=1 Н × м).

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности:

 (11.3)

За время dt сила F совершает работу Fdr, и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени

т. е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N — величина скалярная.

Единица мощности — ватт (Вт): 1 Вт — мощность, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).

 

Кинетическая и потенциальная энергии

Кинетическая энергия механической системы — это энергия механического движения этой системы.

Сила F, действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа dA силы F на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кинетической энергии dT тела, т. е.

Используя второй закон Ньютона  и умножая на перемещение dr получаем

 

Так как  то dA = mv dv=mvdv=dT, откуда

Таким образом, тело массой т, движущееся со скоростью v, обладает кинетической энергией

   (12.1)

Из формулы (12.1) видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т. е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения.

При выводе формулы (12.1) предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, так как иначе нельзя было бы использовать законы Ньютона. В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, скорость тела, а следовательно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким образом, кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета.

Потенциальная энергия — механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них, — консервативными. Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипатнвной; ее примером является сила трения.

Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией П. Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:

  (12.2)

Работа dA выражается как скалярное произведение силы F на перемещение dr и выражение (12.2) можно записать в виде

  (12.3)

Следовательно, если известна функция П(r), то из формулы (12.3) можно найти силу F по модулю и направлению.

Потенциальная энергия может быть определена исходя из (12.3) как

где С — постоянная интегрирования, т. е. потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Это, однако, не отражается на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная П по координатам. Поэтому потенциальную энергию тела в каком-то определенном положении считают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчета), а энергию тела в других положениях отсчитывают относительно нулевого уровня. Для консервативных сил

или в векторном виде

  (12.4)

где

  (12.5)

(i, j, k — единичные векторы координатных осей). Вектор, определяемый выражением (12.5), называется градиентом скаляра П.

Для него наряду с обозначением grad П применяется также обозначение ÑП. Ñ («набла») означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона* или набла-оператором:

  (12.6)

* У. Гамильтон (1805—1865) — ирландский математик и физик.

Конкретный вид функции П зависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой т, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна

  (12.7)

где высота h отсчитывается от нулевого уровня, для которого П0=0. Выражение (12.7) вытекает непосредственно из того, что потенциальная энергия равна работе силы тяжести при падении тела с высоты h на поверхность Земли.

Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение (кинетическая энергия всегда положительна!). Если принять за нуль потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты (глубина h' ), П= —mgh'.

Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна деформации:

где Fx упp — проекция силы упругости на ось х; k — коэффициент упругости (для пружины — жесткость), а знак минус указывает, что Fx упp направлена в сторону, противоположную деформации x.

По третьему закону Ньютона, деформирующая сила равна по модулю силе упругости и противоположно ей направлена, т. е.

 

Элементарная работа dA, совершаемая силой Fx при бесконечно малой деформации dx, равна

 

а полная работа

 

идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенциальная энергия упругодеформированного тела

Потенциальная энергия системы является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.

Полная механическая энергия системы — энергия механического движения и взаимодействия:

т. е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий.

Физика понятий и понятия физики

Аристотель, Ньютон — две механики

Вклад Аристотеля и Ньютона в развитие механики как основы физики и как науки, охватывающей и объединяющей системно «первопричины природы», не может быть переоценен, хотя оба мыслителя и подошли к ее изложению с различных мировоззренческих позиций. Это различие определилось выбором тех гносеологических и физических принципов, тех начал, которые послужили постулатами и аксиомами, заложенными в основания механики. И именно они ¾ принципы привели в конечном итоге к несовместимости сосуществования механики Аристотеля и механики Ньютона.

Возникшая в глубокой древности и остававшаяся в течение двух тысячелетий практически единственным учением о природе, «Физика» Аристотеля в начале нового времени вошла в противоречие с нарождавшимся научным мышлением и по постановке проблем, и по логике умозаключений, и по использованию результатов научных экспериментов, и по применению математических методов. Но не эти факторы определили снижение влияния ставшего за длительный срок догматом веры учения Аристотеля. Главную роль сыграло коренное противоречие используемого им диалектического метода познания природы механистическому, или более обще — идеалистическому методу, порожденному гносеологическим мировоззрением ученых нового времени. Наиболее ярким представителем нарождающегося типа ученых и стал Ньютон.

Свое произведение «Физика» Аристотель начинает с вопроса о началах. Он пишет [1]: «...для всех начал обще то, что они суть первое, откуда то или иное есть или возникает или познается; при этом одни начала содержатся в вещи, другие находятся вне ее».

Сформулированные в виде определения «начала» становятся у него, с одной стороны, понятиями, а с другой ¾ выполняют функции природных законов (последняя формулировка в науке того периода не употреблялась). Следуя от общего к частному, он выводит физические причины и принципы (начала) как следствие рассмотрения сущности вещей и явлений. А в этом случае отпадает надобность в постулировании начал.

Основной особенностью изложения физики Аристотелем является диалектическое рассмотрение самодвижения и саморазвития природы на базе качественного анализа природных явлений. Причем само изложение делится как бы на две части: в первой исследуются принципы (начала) любых природных сущностей, а во второй ¾ общие проблемы движения. Он считал, что физика как наука должна извлекать истину из природы для физического объяснения явлений материального мира с помощью интуиции и абстрагирования. При этом математика становилась инструментом количественного подтверждения качественных результатов.

К первым началам своей механики Аристотель относит материю и ее свойства, место (понятие «пространство» им не использовалось), время, наличие эфира и отсутствие пустоты, движение и самодвижение тел, их качественное состояние и т.д., а также причины, вызывающие те или иные явления. Это практически те же самые гносеологические категории, которые входят в механику Ньютона и в современную механику. Однако выбранное им значение категорий в своем большинстве противоположно тем, на которых основывается механика Ньютона и современная физика.

Так, понятие «природа» Аристотель относит к началам и разъясняет, что: «...понятие природы имеет двоякий характер: его можно определить как первую материю, лежащую в основе каждого из тел, имеющих в самом себе начало движения, и как форму, поскольку именно форма есть результат и итог всякого движения» [1].

В понятие «движение» Аристотель включает не только вращение или пространственное перемещение, но и любое возможное превращение или изменение, которые могут происходить с телами. Причем всякое движение у него привносится двигателем, а само перемещение имеет характер естественных или насильственных движений. Отсутствует даже намек на возможность движения по инерции.

Своеобразно трактуется им понятие «пространство» (заменяемое понятием «место») как некий наличествующий вещественный объем, в котором тела находятся и относительно которого они перемещаются.

Так же своеобразно излагается понятие времени, включающее прошлое, уже не существующее, будущее, еще не существующее, и узкую переходную грань «теперь», не имеющую длительности. Время не есть движение, хотя и не существует без движения. Вывод — время следует определять как число движения по отношению к предыдущему и последующему.

Я не буду перечислять все начала и относящиеся к ним рассуждения (часть из них приведена в табл. 1), отмечу только, что многие рассуждения отражают ограниченность античной науки, нам непривычны и понимаются с трудом, но большая часть этой физики вызывает восхищение всесторонностью и строгостью и сохранила смысл до наших дней. Несомненно одно — аристотелева система образует стройную, достаточно завершенную качественную картину. Именно системное представление природы и позволяет нам реставрировать определенную часть начал, установить их место и значение в рамках современных представлений и понятий.

В отличие от Аристотеля Ньютон не был диалектиком. Его мировоззрение формировалось под влиянием теологии и механицизма, отличаясь глубокой религиозностью и ясностью математического мышления. Именно это сочетание позволило ему переосмыслить накопленный экспериментальный и теоретический материал и изложить его в виде теории механики, преобладающая роль в которой отводилась математике. Следуя Галилею, Ньютон стремился к математическому описанию природных явлений, а не к их физическому объяснению.


На главную