Подготовка к экзамену по математике. Примеры выполнения задач

Понятие обратной и сложной функции.

Взаимно обратные функции

Пусть дана функция  у = f(x). Она имеет обратную, если из зависимости  у = f(x)  можно переменную  х  однозначно выразить через переменную  у. Выразив  х  через  у, мы получим равенство вида  х = g(y). В этой записи  g  обозначает функцию, обратную к  f.

Если функция  g  является обратной для функции  f, то и функция является обратной для функции  g.

Пару функций  f  и  g  называют взаимно обратными функциями.

Свойства взаимно обратных функций

Отметим некоторые свойства взаимно обратных функций.

1) Тождества. Пусть  f  и  g – взаимно обратные функции. Тогда :  f(g(y)) = у  и  g(f(x)) = х.

2) Область определения. Пусть  f  и  g  – взаимно обратные функции. Область определения функции  f  совпадает с областью значений функции  g, и наоборот, область значений функции  f  совпадает с областью определения функции  g.

3) Монотонность. Если одна из взаимно обратных функций возрастает, то и другая возрастает. Аналогичное утверждение верно и для убывающих функций.

4) Графики. Графики взаимно обратных функций, построенные в одной и той же системе координат, симметричны друг другу относительно прямой  у = х.

Понятие о сложной функции

Пусть даны две функции  z = f(y)  и  у = g(x). Сложной функцией (или композицией функций  f  и  g) называется функция z = h(x), значения которой вычисляются по правилу  h(x) = f(g(x))  (т. е. сначала вычисляется g(x), при этом получается некоторое число у, а затем вычисляется значение в точке у).

Для записи композиции функций употребляется значок . Например, запись  означает, что функция  h  получена как композиция функций  f  и  g  (сначала применяется  g, а затем  f), т. е. .

Операция образования сложной функции (или композиция функций) не обладает переместительным свойством: .

Чтобы можно было вычислить сложную функцию  h = f(g(x)), надо, чтобы число  g(x), т. е. значение функции  g, попадало в область определения функции  f .


На главную