Подготовка к экзамену по математике. Примеры выполнения задач

Теорема. Всякая выпуклая (вогнутая) кривая имеет в каждой точке правую и левую касательные.

Доказательство проведем для правой касательной.

Пусть график функции y = f(x) выпуклый. Проведем в точке А(х0, у0) правую секущую АВ. При приближении точки В к А секущая вращается против часовой стрелки, при этом угол, образуемый ею с положительным направле­нием оси Ох, увеличивается и приближается к некоторому предельному значению. Этот угол и будет углом наклона касательной к оси Ох.

В наших рассуждениях мы использовали без доказатель­ства тот факт, что если величина возрастает и ограничена (в нашем случае угол наклона секущей), то она имеет предел.

Определение. Если в точке кривой правая и левая касательные сливаются в одну прямую, то эта прямая на­зывается касательной.

В случае, когда в точке существует касательная, имеем

kкас.лев=kкзс.пр=kкас

Для вычисления углового коэффициента касательной к кривой у = f(x) в точке (х0, у0) нужно вычислить угло­вые коэффициенты правой и левой касательных. Если они равны, то их общее значение будет угловым коэффициентом касательной.

Если в какой-нибудь точке угловые коэффициенты пра­вой и левой касательных не совпадают, то кривая имеет в этой точке излом

Задача о скорости движения.

Понятие производной и ее геометрический и экономический смысл.

ПРОИЗВОДНАЯ — производной функции y = f(x), заданной на некотором интервале (a, b) в точке x этого интервала, называется предел, к которому стремится отношение приращения функции f в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производная обозначается так:

.


На главную