Подготовка к экзамену по математике. Примеры выполнения задач

Схема вычисления производной.

Вычисление производной функции  у=f(x)  производится по следующей схеме:

Находим приращение функции на отрезке :

Делим приращение функции на приращение аргумента:

 Находим предел    устремляя    к нулю. Переход к пределу мы будем записывать с помощью знака  lim:

Правила дифференцирования простой функции.

Сложная функция. Правила дифференцирования функции.

Производная степенной функции. Если f(x) = xp, где p - действительное число, то Если показатель степени является отрицательным числом, т.е. f(x) = x−p, то .

Применение дифференциального исчисления к исследованию экономических объектов и процессов на основе анализа этих предельных величин получило название предельного анализа.

Теорема Ферма. Теорема (Ферма). Пусть р – простое число, р не делит a . Тогда: a p-1 є 1(mod p) .Доказательство 1. Положим в условии теоремы Эйлера m=p , тогда j (m)=p-1 (см. пункт 14) . Получаем a p-1 є 1(mod p) .

Возрастание и убывание функций. Возрастание и убывание функции, функция y = f (x) называется возрастающей на отрезке [a, b], если для любой пары точек х и х', а £ х < х' £ b выполняется неравенство f (x) £ f (x'), и строго возрастающей — если выполняется неравенство f (x) < f.

Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале 1. Чтобы исследовать функцию на наибольшее (наименьшее) значение на интервале , надо исследовать ее, если это возможно, на отрезке .

Точка перегиба. Обычно кривая расположена около точки касания по одну и ту же сторону от касательной.

Производная f'(x0) функции f в точке x0, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x0 тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

f \in \mathcal{D}(x_0)\Leftrightarrow\exists f'(x_0) \in (-\infty;\infty).

Для дифференцируемой в x0 функции f в окрестности U(x0) справедливо представление

f(x) = f(x0) + f'(x0)(x − x0) + o(x − x0) при x \to x_0.

{d \over dx} c = 0

{d \over dx} x = 1

{d \over dx} cx = c

{d \over dx} |x| = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0

{d \over dx} x^c = cx^{c-1},        когда x^c\,\!и cx^{c-1}\,\!определены, c \ne 0

{d \over dx} \left({1 \over x}\right) = {d \over dx} \left(x^{-1}\right) = -x^{-2} = -{1 \over x^2}

{d \over dx} \left({1 \over x^c}\right) = {d \over dx} \left(x^{-c}\right) = -{c \over x^{c+1}}

{d \over dx} \sqrt{x} = {d \over dx} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0

{d \over dx} \sqrt [n] {x} = {d \over dx} x^{1\over n} = {1 \over n} x^{-{n-1\over n}} = \frac {1} {n \cdot \sqrt [n] {x^{n-1}}}


На главную