Подготовка к экзамену по математике. Примеры выполнения задач

Понятие дифференциала функции. Свойства дифференциала.

Дифференциал функции.

Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда можно записать:   , где 0, при 0.

Следовательно:     .

Инвариантность формы дифференциала Получена формула: dy = f'(x) dx для функции y = f(x), где х – независимая переменная.

Нахождение неопределенного интеграла методом подстановки.

Определенный интеграл. Пусть функция у = f(x) определена во всех точках отрезка [а; b]. Произвольной конечной системой точек x1, i = 0, 1, ... , n, таких что

а = х0 < х1 < х2 < ... < хn-1 < хn = b.

Несобственные интегралы и вычисление их .Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий: Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

Величина aΔx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f΄ (x)Δx, т.е. f΄(x)Δx- главная часть приращения Dу.

 Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что  dy = f΄(x)Δx  или

dy = f΄(x)dx.

 Можно также записать:

Свойства дифференциала

Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые в точке х функции. Тогда в точке х имеют место следующие формулы:

d(u±v) = du ±dv

d(uv) = udv+vdu

 (при условии, что V(x) ¹ 0)

Эти формулы следуют из определения дифференциала и свойств производной.


На главную