Подготовка к экзамену по математике. Примеры выполнения задач

Ряды

Понятие числового ряда. Сходимость ряда.

В настоящей главе обобщим понятие суммы на некоторые случаи бесконечного числа слагаемых и изучим свойства таких сумм.

Определение 1. Пусть задана последовательность чисел

 а1, а2, а3, ..., аn, ... (1.1)

Выражение вида

  (1.2)

называется рядом, а число аn - его n-ным членом, n = 1,2,... .

Сразу же заметим, что в нашем случае (1.2) - числовой ряд. Если же последовательность  есть последовательность функций, то ряд называется функциональным (аn = fn(x), n = 1,2,...).

Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости данного ряда.

Ряды с положительными членами. Определение 1. Числовой ряд называется положительным, если все его элементы не отрицательны.

Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2).Признак абсолютной сходимости.

Область сходимости степенного ряда. Теорема. (о структуре области сходимости степенного ряда).

Формы представления комплексных чисел. Алгебраическая форма.

Определение 2. Конечная сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой, а оставшиеся члены, начиная с n + 1, написанные в том же порядке, что и в данном ряду, называется n-ным остатком ряда.

 (1.3)

Sn - n-ная частичная сумма (n = 1,2,...,k)

Rn = an+1 + an+2 + ... + an+i + ... , (1.4)

Rn - остаток ряда.

Определение 3. Ряд  называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм  сходится. Если ряд не сходится, то говорят, что он расходится.

Если ряд сходится, то  называется его суммой.

. (1.5)

Если , то .

Если ряд  - функциональный, то есть un = fn(x), то для каждого фиксированного аргумента х числовой ряд f1(x0) + f2(x0) + f3(x0) + ... или сходится, или расходится. Соответственно этому точку х будем называть точкой сходимости или точкой расходимости.


На главную