Подготовка к экзамену по математике. Примеры выполнения задач

Теория вероятности и математической статистики.

Классическое определение вероятности.

  Как было сказано выше, при большом числе n испытаний частота P*(A)=m/n появления события A обладает устойчивостью и дает приближенное значение вероятности события A, т.е. .

Это обстоятельство позволяет находить приближенно вероятность события опытным путем. Практически такой способ нахождения вероятности события не всегда удобен. В ряде случаев вероятность события удается определить до опыта с помощью понятия равновероятности событий (или равновозможности).

Два события называются равновероятными (или равновозможными), если нет никаких объективных причин считать, что одно из них может наступить чаще, чем другое.

Так, например, появления герба или надписи при бросании монеты представляют собой равновероятные события.

Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятности независимых событий.

Противоположные события. Условная вероятность и теорема умножения вероятностей зависимых событий.

Вероятность гипотез. Формула Бейеса.

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Теорема. Пусть А и В – совместные событии.

Повторные независимые испытания (формула Бернулли).

По формуле Бернулли можно подсчитать вероятности всех возможных частот: x=0,1,2,3,4,5.

Закон распределения дискретной случайной величины Определение. Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.

Дисперсия случайной величины Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.

Рассмотрим этапы проверки гипотезы и используемые при этом понятия. Этап 1. Располагая выборочными данными  и руководствуясь конкретными условиями рассматриваемой задачи, формулируют гипотезу Но, которую называют основной или нулевой, и гипотезу Н1 конкурирующую с гипотезой Н0.

Допустим, что критическая область выделена. Тогда руководствуются следующим правилом: если вычисленное по выборке значение критерия j попадает в критическую область, то гипотеза Но отвергается и принимается гипотеза Н1.

Точечная оценка для параметров распределения. Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности.

Классические методы В классической статистике рассматривается параметрическая модель: выборка x1,x2,…,xn соответствует распределению известного вида, то есть функция распределения F(х) с плотностью распределения f(х) задана с точностью до одного или двух неизвестных параметров.

Рассмотрим другой пример. Пусть бросают игральную кость. В силу симметрии кубика можно считать, что появление любой из цифр 1, 2, 3, 4, 5 или 6 одинаково возможно (равновероятно).

События E1,E2, ..., EN в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта должно произойти, хотя бы одно из них.

Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью f(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.

Так, в последнем примере полная группа событий состоит из шести событий — появлений цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

Очевидно, любое событие A и противоположное ему событие образуют полную группу.

Событие B называется благоприятствующим событию A, если наступление события B влечет за собой наступление события A.

Так, если A — появление четного числа очков при бросании игральной кости, то появление цифры 4 представляет собой событие, благоприятствующее событию A.

Пусть события E1,E2, ..., EN в данном опыте образуют полную группу равновероятных и попарно несовместных событий. Будем называть их исходами испытания. Предположим, что событию A благоприятствуют M исходов испытания. Тогда вероятностью события A в данном опыте называют отношение M/N. Итак, мы приходим к следующему определению.

Вероятностью P(A) события в данном опыте называется отношение числа M исходов опыта, благоприятствующих событию A, к общему числу N возможных исходов опыта, образующих полную группу равновероятных попарно несовместных событий:

   Это определение вероятности часто называют классическим. Можно показать, что классическое определение удовлетворяет аксиомам вероятности.


На главную