Подготовка к экзамену по математике. Примеры выполнения задач

Дифференциальные уравнения

Понятие дифференциального уравнения.

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида:

F(x, y, y/ ,y//,..., y(n)) = 0. (1.1)

Если уравнение (1.1) имеет вид :

а0(х)×у(n) + а1(х)×у(n-1) + ... + аn(х)×у = f(x), (1.2)

где аi(х) (i=0,1,...,n) называются коэффициентами уравнения (линейного); они обычно определены и непрерывны на некотором общем интервале, а f(x) - правая часть линейного уравнения или свободный член.

Элементы качественного анализа дифференциальных уравнений первого порядка.

Решить систему линейных уравнений (СЛАУ) методами Крамера, Гаусса и в матричной форме .

Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейное уравнение имеет вид: а(х)×у/ + b(х)×y + c(x) = 0, (1.9).

Решение в матричной форме. В общем случае решение СЛАУ в матричной форме имеет вид:.

Метод Гаусса 1. Запишем СЛАУ в виде матрицы, расширенной за счет элементов правой части ее: .

Найти разложение вектора х={3,-1,2} по векторам p = {2,0,1}, q={1,-1,1}, r = {1,-1,2}.

Вероятность попадания в цель равна 0,4. Найти вероятность 5 попаданий в цель из 8 выстрелов.

Раскрыть неопределенность вида  или  с использованием правила Лопиталя:.

 

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале   Решение1. Находим первую производную заданной функции.

По заданным координатам вершинам А, В, С треугольника определить длины сторон, углы и площадь его А(3;-1;2); В(1; 2; -1); С(-1; 1; 3).

Найти произведения АВ и ВА квадратных матриц А и В , .

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале   Решение 1. Находим первую производную заданной функции

.

Вычислить предел функции с использованием основных теорем .

Если f(x) º 0 уравнение (1.2) называется однородным, в противном случае - неоднородным. Примеры решения задач Найти стационарное распределение температуры на тонкой однородной круглой пластине радиусом R, верхняя половина которой поддерживается при температуре 1°, а нижняя – при температуре 0°.

Любая функция у = j(х), подставленная в (1.2), обращающая его в тождество, называется решением этого уравнения. График решения (то есть кривой у=j(х)) называется интегральной кривой.

Основная задача - отыскание (поиск) функции у, производная которой равна данной непрерывной функции f(x), - то есть сведение к простейшему дифференциальному уравнению у/ = f(x).

Общее решение этого уравнения есть

, (1.3)

где С - произвольная константа, а  - одна из первообразных.

Выбрав надлежащим образом С, можно получить любое решение этого простейшего дифференциального уравнения.

Определение 1.1. Общим решением дифференциального уравнения (1.1) называется такое его решение y = j(x,C1,C2,...,Cn), которое содержит число констант, равное порядку этого уравнения.

Если общее решение записано в неявном виде F(х,у,С1,...,Сn) = 0, то его обычно называют интегралом.

Определение 1.2. Всякое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего при определенных значениях независимых постоянных, называется частным решением этого уравнения.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение вида

,                                                         (82)

где  – заданные функции и . Если уравнение (82) разделить на , то его можно переписать в виде

,                                                             (83)

где  и , при этом  называется свободным членом или правой частью уравнения. Будем считать, что функция  и свободный член  уравнения (83) непрерывны на некотором интервале .

Если в уравнении (83) , то данное уравнение называется однородным, в противном случае уравнение (83) называется неоднородным.


На главную