Математика. Контрольная

Пример выполнения контрольной работы

Задание 1. Определить скалярное произведение  векторов, если , , , , .

Решение: Подставим в скалярное произведение выражения векторов через их базисы: , по свойствам скалярного произведения, имеем:

. Ответ: .

Задание 2. Вычислить , если , , , .

Решение: Исходные вектора заданы через аффинный базис, поэтому, запишем их векторное произведение через соответствующие базисные вектора: {используя свойства векторного произведения, имеем} . Ответ: .

Задание 3. Определить смешанное произведение , если , ,

Решение: Так как векторы заданы в декартовом базисе, то смешанное произведение находится по формуле:

.

Ответ: .

Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через точки   и .

Решение: Обозначим точку с координатами  как , а точку с координатами  как , тогда каноническое уравнение прямой, проходящей через данные точки запишется в виде: .

Преобразуем полученное уравнение:  .

Ответ: .

Задание 5. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через точку   параллельно оси  и перпендикулярно к плоскости .

Решение: Обозначим нормаль плоскости  как , а нормаль искомой плоскости как . Так как искомая плоскость по условию задачи перпендикулярна плоскости , то их нормали будут также перпендикулярны .

Возьмем на оси  единичный вектор . По условию искомая плоскость параллельна оси , значит, ее нормаль и единичный вектор будут перпендикулярны .

По определению векторного произведения имеем:

, откуда .

Подставим в общее уравнение плоскости координаты ее точки и нормали, получаем:  или .

Ответ: .

Задание 6. Вывести общее уравнение плоскости, проходящей через точку   параллельно векторам  и .

Решение: Пусть нормаль искомой плоскости есть . По условию задачи искомая плоскость параллельна заданным векторам, следовательно, ее нормаль перпендикулярна к ним:  и , и откуда следует, что нормаль есть их векторное произведение:

, , откуда координаты нормали: . Подставим найденные координаты нормали и координаты фиксированной точки  в общее уравнение плоскости, получим: , или .

Ответ: .

Задание 7. Для гиперболы  найти действительную и мнимую полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет.

Решение: Приведем исходное уравнение к каноническому виду:  или , откуда действительная полуось , мнимая полуось , эксцентриситет , координаты фокусов определяются значением величины :   и . Ответ: , , , , .

На главную