Математика. Контрольная

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ

Упражнение 1. Найти указанные пределы.

Решение:

 

При подстановке вместо переменно х ее предельного значения 3 получается неопределенность вида . Для избавления от этого типа неопределенности в этом случае представим квадратные трехчлены числителя и знаменателя в виде произведения линейных множителей, воспользовавшись известной формулой , где - корни квадратного трехчлена . У нас , т.к. дискриминант квадратного трехчлена , а следовательно,  .

Аналогично .

Теперь условие примера можно переписать а другом виде и продолжить решение:

.

.

Здесь сталкиваемся с неопределенностью вида , избавиться от которой можно вынесением за скобки в числителе и знаменателе дроби старшей степени переменной: .

.

В данном случае для освобождения от возникшей неопределенности вида будем использовать I замечательный предел и одно из его очевидных следствий:

.

Решение примера будет выглядеть следующим образом:

Упражнение 2. Найти производные, пользуясь правилами и формулами дифференцирования.

Решение:

Кроме формул дифференцирования нужно использовать правила дифференцирования (суммы, разности, произведения, частного).

Необходима и теорема о производной сложной функции:

если задана сложная функция , где , то есть ; если каждая из функций  и  дифференцируема по своему аргументу, то

.

, ,

.

,

Упражнение 3. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и начертить график.

Исследование функции и построение графика рекомендуется проводить по следующей схеме:

найти область определения функции D(y);

найти точки экстремума функции и определить интервалы ее монотонности;

найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции;

найти асимптоты графика функции;

 построить график, используя результаты предыдущих исследований;

дополнительно найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке .

Решение:

Дана функция:

Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть D(y): , а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и график ее не имеет вертикальных асимптот.

Исследуем функцию на экстремум и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:

Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки I рода х1 = -5, х2 = -1. Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению знака производной в них выявляем промежутки монотонности и наличие экстремума:

x

-5

-1

+

0

-

0

+

&

max

(

min

&

Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем II производную заданной функции и приравняем ее к нулю:

, т.е.

Итак, функция имеет одну критическую точку 2 рода . Разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из которой установим знак II производной:

x

-3

-

0

+

т.п.

Значение  является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки

Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты  воспользуемся формулами: .

Имеем .

Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.

Для построения графика в выбранной системе координат изобразим точки максимума А1(-5; 4), минимума А2(-1; -4),  перегиба А3 (-3; 0) и точку пересечения графика с осью Оу А4 (0; ). С учетом результатов предыдущих исследований построим кривую.

Найдем наибольшее и наименьшее значения заданной функции на отрезке   . Для этого посчитаем значения функции на концах этого отрезка, в критических точках I рода, попавших на отрезок, и сравним результаты:

 .

Очевидно, что .

Упражнение 4. Задан закон s(t) изменения пути движения материальной точки; нужно найти значения скорости и ускорения этой точки в момент времени t0.

Решение:

Пусть .

Известно, что значения скорости и ускорения материальной точки в некоторый момент времени являются соответственно значениями в этот момент I и II производных функции, задающей закон изменения пути движения точки.

У нас

(ед. ск.)

(ед. уск.)

Упражнение 5. Найти неопределенные интегралы

а) способом подстановки (методом замена переменной) , ;

б) применяя метод интегрирования по частям , .

Решение:

а) : применим подстановку . Тогда  и

: применим подстановку . Тогда ,

, откуда

б) : применим формулу интегрирования по частям .

Положим . Тогда .

Следовательно, .

: положим . Тогда .

Отсюда . Применяя в последнем интеграле подстановку , получаем , следовательно, .

Отсюда .

Упражнение 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченную параболами.

Решение:

Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений: .

Решаем полученное квадратное уравнение:

.

Вычисление площади фигуры осуществляем по формуле , где - кривые, ограничивающие фигуру .

В нашем случае (кв. ед.)

Упражнение 7. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения I порядка .

Решение:

Правая часть уравнения  обладает свойством . Поэтому заданное уравнение является однородным дифференциальным уравнением I порядка. Совершим замену , где - некоторая функция от аргумента х. Отсюда . Исходное уравнение приобретает вид .

Продолжаем преобразования: ; .

Производим разделение переменных: .

После интегрирования обеих частей уравнения получаем

;

.

Таким образом ; .

Потенцируя, находим  или ; .

Итак, общий интеграл исходного уравнения приобретает вид

, где С – произвольная постоянная.

Упражнение 8. Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами:

а)

б)

в)

Решение:

а) Для заданного дифференциального уравнения составим соответствующее характеристическое уравнение по принципу: . Решаем полученное квадратное уравнение и получаем два вещественных разных корня .

Т.к. , то общее решение данных уравнений записывается в виде . В нашем случае , где - произвольные постоянные.

Отсюда , .

Используя начальные условия : , т.е. .

Из того что  следует , т.е. , .

Решая систему уравнений , получаем .

Теперь в наше общее решение  подставим найденные значения . Частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, приобретает вид .

б) Для заданного дифференциального уравнения составим соответствующее характеристическое уравнение по принципу: . Решаем полученное квадратное уравнение и получаем два равных вещественных корня .

Т.к. , то общее решение данных уравнений записывается в виде . В нашем случае , где - произвольные постоянные.

Отсюда , .

Учитывая начальные условия, получаем систему уравнений для определения : . Решая систему, получаем .

Искомое частное решение имеет вид:

в) Для заданного дифференциального уравнения  составим соответствующее характеристическое уравнение . Решая это уравнение, убеждаем, что оно не имеет вещественных корней.

В этом случае общее решение соответствующего дифференциального уравнения записывается в виде , где  - коэффициенты характеристического уравнения).

У нас  поэтому общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид .

 Отсюда .

Таким образом, для определения значений  исходя из начальных условий, получаем систему уравнений ,

решая которую имеем .

Итак, искомое частное решение приобретает вид

Упражнение 9. Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения х1 и х2 , причем х1 < х2. Найти закон распределения величины Х, если известно, что математическое ожидание М (х) = 1,4, дисперсия D (х) = 0,24 и вероятность р1 того, что Х примет значение х1, равна 0,6.

Решение:

Так как сумма вероятностей всех возможных значений Х равна 1, то вероятность p2 того, что Х примет значение х2, равна p2 = 1 - p1 = 1 – 0,6 = 0,4.

Напишем закон распределения Х:

Х

х1

х2

p

0,6

0,4

Для отыскания х1 и х2 составим два уравнения.

Для составления первого уравнения воспользуемся тем, что математическое ожидание

M(x) определяется по формуле M(x) = х1 р1 + х2 р2 + … + хn рn

В нашем случае: M(x) = х1 р1 + х2 р2

Учитывая, что по условию M(x) = 1,4, можем записать первое уравнение:

0,6х1 + 0,4х2 = 1,4.

Учитывая, что по условию D(x) = 0,24, пользуясь формулой D (х) = M (X2) – [M(X)]2, напишем второе уравнение:

0,6 х12 + 0,4 х22 - 1,42 = 0,24, или

0,6 х12 + 0,4 х22 = 2,2.

Решив полученную систему уравнений, найдем два решения:

х1 = 1, х2 = 2 и х1 = 1,8, х2 = 0,8.

По условию, х1 < х2, поэтому задаче удовлетворяет лишь первое решение.

Окончательно получим искомый закон распределения:

Х

1

2

p

0,6

0,4

На главную