Математика. Контрольная

Задачи из раздела Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Задача 1. Решить систему уравнений: а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) методом обратной матрицы (для проверки вычислений обратной матрицы воспользоваться ее определением).

Решение:

а) Найдем решение системы методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу системы:

.

Умножая первую строку на 4, вторую строку на 3 и вычитая из первой строки вторую, получим:

.

Умножая первую строку на 5, третью строку на 3 и вычитая из первой строки третью, получим:

.

Разделив вторую строку на (-1), третью строку на (-8), получим:

.

Умножая третью строку на 3 и вычитая из второй строки третью, получим:

.

Разделив третью строку на (-1), получим:

.

По виду этой матрицы заключаем, что система совместная и определенная (имеет единственное решение). Система, соответствующая полученной матрице, имеет вид:

.

Из последнего уравнения получаем: .

Из второго уравнения: , .

Из первого уравнения: , =0.

Получили решение системы уравнений:

.

б) Найдем решение системы по формулам Крамера.

.

.

.

.

.

.

.

в) Найдем решение системы методом обратной матрицы.

Введем обозначения: , , .

 - матричная запись системы линейных уравнений. Тогда .

Найдем  - обратную к  матрицу. В пункте а) найдено: .

, где   - алгебраические дополнения к элементам   матрицы .

Найдем .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Получили: .

Сделаем проверку: .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Получили: , значит,  действительно обратная к . Тогда получаем решение: .

.

.

Ответ: .

Задача 2. Даны координаты векторов . Найти:

длину вектора ;

скалярное произведение векторов  и ;

косинус угла между векторами  и ;

векторное произведение векторов  и ;

площадь параллелограмма  и площадь треугольника , построенных на векторах  и ;

смешанное произведение векторов ,  и ;

объем параллелепипеда  и объем пирамиды , построенных на векторах ,  и .

Решение:

Определим длину вектора . Длина вектора  равна:

.

Определим координаты вектора .

.

Тогда .

Найдем скалярное произведение векторов  и .

.

Найдем косинус угла между векторами  и .

.

Найдем векторное произведение векторов  и .

,

т.е. =(-1;2;-1).

Найдем площадь параллелограмма :

 (кв.ед.).

Найдем площадь треугольника :

 (кв.ед.).

Найдем смешанное произведение векторов ,  и .

.

7) Найдем объем параллелепипеда  и объем пирамиды .

Т.к. =0, то вектора ,  и  компланарны, т.е. лежат в одной плоскости, значит, построить на векторах ,  и  параллелепипед и пирамиду невозможно.

Задача 3. Определить какие кривые определяются следующими уравнениями. Построить графики кривых.

а) .

Решение:

Приведем данное уравнение к каноническому виду:

.

Это каноническое уравнение эллипса. , .

Построим график данной кривой.

б) .

Приведем данное уравнение к каноническому виду:

.

Это каноническое уравнение гиперболы. , .

Построим график данной кривой.

в) .

Это уравнение параболы с вершиной в точке (0;-3), ветви направлены вверх. Точки пересечения с осью ОХ: .

Построим график данной кривой.

На главную