Математика. Контрольная

Приложение двойного интеграла.

1. Геометрический смысл двойного интеграла. Если функция f(x,у) непрерывна и неотрицательна в области D, то двойной интеграл представляет собой объем прямого цилиндрического тела (цилиндроида), построенного на области D как на основании и ограниченного сверху поверхностью , образующие которого параллельны оси Oz.

2. Если f(х, у) =1 для всех (х, у)Î D, то  численно равен площади области D.

3. Если  - плотность пластинки D, то - масса плоской пластинки D.

Пример 1.3. Вычислить массу неоднородной пластины D, ограниченной линиями , если поверхностная плотность в каждой её точке .

Решение. Область интегрирования D ограничена прямой и параболой (или  – это парабола с вершиной в точке (0, -1), симметричная относительно оси Oy, ветви направлены вверх). Найдем координаты точек пересечения прямой и параболы. Для этого решим систему:

Сделаем чертеж области D.

Масса неоднородной пластины D с поверхностной плотностью  вычисляется по формуле

.

В нашем случае .

Чтобы расставить пределы интегрирования в повторном интеграле надо спроецировать область D на ось Ох. Получится отрезок [-2; 1]. Этим определяются нижний предел -2 и верхний предел 1 изменения переменной х во внешнем интеграле. Затем на отрезке [-2; 1] оси Ох выбираем произвольную точку х, через которую проводим луч, параллельный оси Оу в ее направлении. Нижним пределом будет значение переменной у из уравнения той линии в которую луч вошел (), а верхним – значение переменной y из уравнения той линии из которой луч вышел ( или ).

=.

Считая при вычислении внутреннего интеграла х постоянной, имеем

==

Итак, масса неоднородной пластины D, ограниченной линиями , с поверхностной плотностью в каждой её точке равна 19,8.

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Криволинейный интеграл I рода.

Пусть на плоскости xOy задана кривая линия L – гладкая, т.е. функции входящие в ее уравнение являются непрерывными вместе со своими производными. И пусть в каждой точке кривой L определена непрерывная функция  двух независимых переменных х и у.

Разобьем дугу АВ кривой L на n частей точками А0=А, А1, А2,…, Аn=В.

На каждой части Аi Аi+1 выберем любую точку . Вычислим в этой точке значение заданной на кривой L функции . Число  умножим на длину дуги. Сложим все эти произведения и получим интегральную сумму

Отыщем предел этой суммы при условии, что наибольшая из дуг стремится к 0, а их число .

Если существует конечный предел интегральной суммы Sn, когда длины всех малых участков  стремятся к 0, при , независящий ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек внутри малых частей, то он называется криволинейным интегралом 1-го рода (КРИ-1) от функции  по кривой  и обозначается символом

.

Теорема. Если функция  непрерывна во всех точках гладкой ограниченной кривой , то КРИ-1 существует.

По аналогии с вышесказанным, если L пространственная кривая, то криволинейным интегралом, распространенным на эту кривую, называется интеграл вида

,

 где  - функция трех независимых переменных, определенная в каждой точке кривой , причем

.

2.2. Свойства криволинейного интеграла I рода.

10.

20.

30.

40. Если интегрируема наи кривая разбита на части точкой С, то

50. Если в каждой точке кривой  плотность ρ масс, распространенных вдоль кривой является заданной функцией координат этой точки, то есть , то масса mL этой кривой равна КРИ-1:

.

60. Если , то криволинейный интеграл 1-го рода равен длине кривой L между точками А и В, т.е. .

2.3. Вычисление криволинейного интеграла I рода.

1) Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями

 где параметр t изменяется на дуге  от t=α до t=β, а функции x(t), y(t) непрерывны вместе со своими первыми производными, то КРИ-1 вычисляется по формуле

.

Замечание. Если  кривая в пространстве, то  и КРИ-1 вычисляется по формуле

2) Пусть кривая L задана на плоскости xOy явно уравнением, где функция  непрерывна вместе со своей производной. Представим  в виде , тогда КРИ-1 вычисляется по формуле

.

Замечание. Если кривая L задана уравнением , то КРИ-1 вычисляется по формуле

.

Пример2.1. Вычислить массу m дуги окружности , лежащей в первой четверти, если плотность в каждой её точке .

Решение. Масса m дуги  с плотностью в каждой её точке  вычисляется по формуле

Из уравнения окружности выразим у:и найдём

  .

Тогда   =

Дуга окружности , лежащая в первой четверти, находится между точками . Тогда масса

На главную