Математика. Контрольная

Криволинейный интеграл II рода.

Пусть во всех точках дуги AB плоской гладкой кривой L определена функция двух независимых переменных .

Разобьем дугу LАВ на n частичных дуг точками А0=А, А1, А2,…, Аi ,Аi+1,…, Аn=В. На каждой из частичных дуг выберем произвольную точку Mi (xi,yi ). Вычислим значение функции  в этой точке – . Это число умножим на – проекцию дуги  на ось Ox. Сложим все эти произведения и получим интегральную сумму

.

Если функция  непрерывна во всех точках дуги LАВ, то существует предел интегральной суммы Sn при стремлении всех  к 0, и он не зависит ни от способа разбиения дуги LАВ на части, ни от выбора точки Mi на каждой частичной дуге.

Этот предел называется криволинейным интегралом 2-го рода (КРИ-2) от   по дуге LАВ и обозначается

.

Аналогично, значение функции  в точке Mi (xi,yi) можно умножить на проекцию дуги   на ось Oy –  (а не на ), то получим произведение . Предел суммы таких произведений при условии, что все  также является криволинейным интегралом второго рода и обозначается .

В том случае, когда на дуге LАВ заданы две непрерывные функции  и , то можно рассмотреть криволинейные интегралы второго рода

  (1)

Сумму этих двух интегралов обозначают символом

при этом предполагается, что оба интеграла (1) вычисляются в одном и том же направлении.

По аналогии с вышесказанным, если L – пространственная кривая, то криволинейным интегралом 2-го рода по этой кривой называется интеграл вида

,

 где   – функции трех независимых переменных, определенные в каждой точке кривой LАВ.

2.5. Свойства криволинейного интеграла II рода.

Криволинейный интеграл 2-го рода обладает теми же свойствами, что и криволинейный интеграл 1-го рода. Однако в отличие от последнего он зависит от направления обхода кривой L, а именно:

10. При изменении направления интегрирования КРИ-2 меняет знак на противоположный, то есть

.

20. Механический смысл КРИ-2. Если  - сила, действующая на материальную точку, движущуюся вдоль линии LАВ, то КРИ-2 есть работа силы  вдоль линии LАВ, то есть .

2.6. Вычисление криволинейного интеграла II рода.

Вычисление КРИ-2 сводится к вычислению определенного интеграла с помощью уравнения пути интегрирования (уравнения кривой ).

1) Если кривая L по которой вычисляется КРИ-2, задана параметрическими уравнениями

  где параметр t изменяется на дуге  от t=α до t=β, а функции x(t), y(t) непрерывны вместе со своими первыми производными, то КРИ-2 вычисляется по формуле

=

=

Замечание. Если  кривая в пространстве, то  и функции  – функции трех независимых переменных, определенные в каждой точке кривой LАВ, то КРИ-2 вычисляется по формуле

=

=+

+

2) Если кривая L задана на плоскости xOy явно уравнением, где функция  непрерывна вместе со своей производной. Представим  в виде , тогда КРИ-2 вычисляется по формуле

=.

Замечание. Если кривая L  задана уравнением , то КРИ-2 вычисляется по формуле

=

Пример2.2.Вычислить работу силового поля при перемещении материальной точки вдоль одного витка винтовой линии , т.е. от точки A(1, 0, 0) до точки

B(1, 0, 4).

Решение. Работа А силового поля

вдоль линии L вычисляется по формуле

, где

Находим

.

  т.к.  и

Тогда работа А силового поля  вдоль одного витка винтовой линии вычисляется по формуле

На главную