Математика. Контрольная

Формула Грина.

Криволинейный интеграл второго рода по простому замкнутому гладкому контуру L, ограничивающему односвязную область D, может быть преобразован в двойной интеграл по области D ограниченной этим контуром L по формуле Грина.

Конечная область D называется односвязной, если она ограничена единственным замкнутым контуром.

Теорема. Пусть функции  и их частные производные непрерывны в замкнутой области D, ограниченной контуром L. Тогда имеет место формула Грина

,

при этом выбирается положительное направление обхода замкнутого контура L, то есть обход контура L совершается так, что область D все время остается слева.

Замечание. Если  то из формулы Грина получаем следующую формулу для вычисления площади плоской фигуры D

Также для вычисления площади с помощью КРИ-2 применяют формулы

, .

Пример2.3. Применив формулу Грина, вычислить , где L – контур треугольника ОАВ с вершинами в точках О(0, 0), А(1, 0), В(0, 2) (пробегаемый в положительном направлении) и подынтегральные функции

Решение. Построим контур L на координатной плоскости:

 

Составим уравнение прямой АВ, используя формулу

уравнения прямой по двум точкам . Имеем

Найдём частные производные 

Тогда по формуле Грина имеем

где D – треугольник ОАВ. Вычислим двойной интеграл.

 

Пример 1. Найти интеграл  и проверить результат дифференцированием.

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию  тогда

Проверка. Найдем дифференциал полученной функции:

Сравнивая полученный дифференциал с подынтегральным выражением данного интеграла, убеждаемся в том, что интеграл найден верно (согласно второму свойству неопределенного интеграла).

На главную