Математика. Контрольная

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции.

Интегралы типа   называются неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей. Первые два интеграла находятся следующим образом: под радикалом выделяется полный квадрат, затем основание полного квадрата обозначается новой переменной. После необходимых преобразований, выполненных над подынтегральным выражением, получаем табличные интегралы. Интегралы третьего вида подстановкой  приводятся к виду первых двух интегралов.

Пример 27. Найти интеграл

Решение. Выделим полный квадрат в подкоренном выражении:  Введем новую переменную   тогда    

Данный интеграл примет вид:

Пример 28. Найти интеграл

Решение. Преобразуем подкоренное выражение, выделяя полный квадрат: 

Воспользуемся подстановкой  тогда   

Подставим полученные выражения в данный интеграл и преобразуем его:

Найдем отдельно каждый интеграл. Для нахождения первого интеграла воспользуемся методом замены переменной:

Рассмотрим второй интеграл

Возвращаясь к данному интегралу и исходной переменной интегрирования   получаем:

 Пример 29. Найти интеграл

Решение. Преобразуем квадратный трехчлен  Введем новую переменную  тогда   

Рассмотрим каждый интеграл отдельно.

Исходный интеграл будет равен

Возвращаясь к данной переменной интегрирования окончательно получим:

Пример 30. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся подстановкой  тогда Получим интеграл:

Воспользуемся еще раз подстановкой: тогда Подставляя полученные выражения в последний интеграл, получим:

Вернемся к данному интегралу и исходной переменной интегрирования

Если подынтегральная функция содержит иррациональности разных показателей корней, тогда подстановка где наименьшее общее кратное показателей корней, сводит интеграл к интегралу от рациональной функции.

Пример 31. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся методом подстановки, обозначив  так как наименьшее общее кратное показателей корней два и четыре, тогда  

Подставляя в данный интеграл, получим:

Получили подынтегральную функцию, которая является неправильной рациональной дробью. Выделим целую часть, а для этого разделим многочлен числителя на многочлен знаменателя:

 

Таким образом

Подставим в последний интеграл полученную функцию и проинтегрируем:

Возвращаясь к данному интегралу и переменной интегрирования  получим:

Задания для самостоятельного решения

Найти интегралы:

1.  2.   3.  4.

5.  6.   7.  

8.  9.   10.

11.  12.   13.

14.

Ответы. 1.  

2.  3.

4.  5.

6.  7.

8.  9.

10.

11.  12.

13.  

14.

На главную