Математика. Контрольная

Уравнение Бернулли.

Уравнение Бернулли имеет вид

  (1)

(при  это уравнение является линейным).

Уравнение (1) умножим на  

  (2)

Обозначим .

Уравнение (2) умножим на

 или

  (3)

(3) – линейное уравнение относительно переменной .

Таким образом, уравнение Бернулли можно привести к линейному уравнению.

Замечание. Уравнение Бернулли может быть проинтегрировано также методом вариации постоянной, как линейное уравнение и с помощью подстановки .

Пример 5.

Решить уравнение Бернулли .

 Приведем уравнение к виду

 

 .

Обе части уравнения умножим на  и сделаем замену , причем, , получим  - это линейное уравнение относительно .

 

Получили .

Поэтому .

Ответ: .

Упражнения. Решить уравнения

1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

3. . Ответ: .

Уравнение следует переписать в виде

 или - это уравнение Бернулли относительно функции .

4. . Ответ: .

Обе части уравнения следует умножить на  и сделать замену .

Задача 5. Уравнения в полных дифференциалах.

Дифференциальное уравнение вида

  (1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции  , т.е.

 .

Для того, чтобы уравнение (1) являлось уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области  изменения переменных   выполнялось условие

  (2)

В этом случае общий интеграл имеет вид  или

 .

Пример 6.

Решить уравнение .

Решение. Проверим является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах

 .

 

Получили, что , условие (2) выполнено, значит данное уравнение в полных дифференциалах.

Найдем функцию . Для этого имеем систему:

 

Из первого уравнения, интегрированием по  при постоянном , определяем :

 ,

где  - произвольная функция (вместо постоянной интегрирования С берем функцию )

Частная производная , найденной функции  должна равняться в силу второго уравнения системы, , что дает

,

.

Отсюда ,

 - общий интеграл.

Ответ: , где .

 

На главную