Математика. Контрольная

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида. Метод подбора или метод неопределенных коэффициентов.

Дано уравнение 

  (1)

С постоянными вещественными коэффициентами .

Общее решение неоднородного уравнения или уравнения с правой частью  равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения 

 .

Для правых частей специального вида частное решение можно найти так называемым методом подбора.

Общий вид правой части  уравнения (1), при котором возможно применить метод подбора, следующий:

  (2),

где  многочлены степени  соответственно.

В этом случае частное решение  уравнения (1) находится в виде

  (3),

где – многочлены от –й степени общего вида с неопределенными коэффициентами, а – кратность корня  характеристического уравнения (если   не является корнем характеристического уравнения, то ).

Частные случаи , определяемые формулой (2):

I. .

1) если число  не является корнем х.у., то

 ,

где – многочлен той же степени, что и , но с неопределенными коэффициентами.

2) число  является корнем  кратности , то 

 .

II. , то

если

1)  не является корнем х.у., то

 .

2) число  является корнем х.у. кратности  , то

 .

III. , то

если

1) число  не является корнем х.у., то

 .

2) число  является корнем х.у. кратности , то

 

 .

Замечание. Первые два вида являются частными случаями III вида.

Пример 16. Найти общее решение уравнения .

Решение.

Характеристической уравнение (х.у.)  имеет различные корни , поэтому общее решение

 .

Находим частное решение ; это многочлен – не является корнем х.у., поэтому

 ,

А, В, С – неопределенные (неизвестные) коэффициенты.

Подставляя  в уравнение, получим

 .

Откуда

 

Решая систему, находим . Следовательно,   и общее решение будет

 .

Пример 17. Решить уравнение .

Решение.

 .

 – нее является корнем х.у., поэтому

.

Подставляя  в уравнение

.

Приравнивая коэффициенты при  слева и справа, получим систему уравнений относительно неизвестных А и В.

   .

 .

 .

Замечание. Если правая часть уравнения  (1) имеет вид: , то частное решение уравнения (1) , где – частное решение уравнения – частное решение уравнения .

Упражнения. Определить вид частного решения.

1) . Ответ: .

2) . Ответ: .

3) . Ответ: .

 4) . Ответ: .

.

Задача 12. Метод вариации произвольных постоянных, метод Лагранжа.

Рассмотрим метод вариации произвольных постоянных для уравнения второго порядка

  (1)

Если известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения

 , (2),

то общее решение неоднородного уравнения (1) может быть найдено методом вариации постоянных (метод Лагранжа).

Общее решение уравнения (2) имеет вид

 , (3)

где  – фундаментальная система решений (ф.с.р.),

 – произвольные постоянные.

Решение уравнения (1) будем находить в виде

 , (4)

где – некоторые пока неизвестные функции от х. Для их определения получаем систему

  (5)

Решая (5) относительно , получим

  (6)

 – определитель Вронского.

 , т. к.  – ф. с. р.

Из (6) находим

 ,

где  – постоянные интегрирования.

На главную