Математика. Контрольная

По условию задачи составить дифференциальное уравнение и решить его.

Дифференциальные уравнения являются математической моделью реальных процессов. При составлении д.у. мы пользуемся законами конкретных наук, таких как физика, химия, биология, экономика. Рассмотрим несколько примеров.

Механический смысл д.у. второго порядка.

Предположим, что материальная точка массы  движется вдоль оси  под влиянием сил:

 

 х

 0  

1) сила сопротивления среды , определяемая опытным путем. При малых скоростях сила сопротивления среды пропорциональна первой степени скорости,  – коэффициент пропорциональности. При больших скоростях сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости;

2) восстанавливающая сила, стремящаяся вернуть точку в положение равновесия, т. е. сила упругости ;

3)  - внешняя сила, направленная вдоль оси .

По второму закону Ньютона сила инерции  уравновешивается всеми силами, действующими на точку. Поэтому уравнение

  (1)

Есть дифференциальное уравнение движения материальной точки. Разделим на  обе части уравнения (1) и введем обозначения:

 . (2)

Тогда получим  (3)

К уравнению (1) или (3) приводят следующие задачи:

а) колебания математического маятника

 


 

 

 

– малое отклонение от положения равновесия.

– ускорение свободного падения,

~ . Получим – уравнение свободных гармонических колебаний;

б) колебательный контур

Последовательный колебательный контур состоит из последовательно включенных источника тока, напряжение которого изменяется по закону  , например, 

 


 b с

 а d

, сопротивления R , индуктивности  и емкости С   – постоянные).

Найти силу тока в контуре в установившемся (периодическом) режиме.

Последовательный колебательный контур представляет собой электрическую цепь с четырьмя узлами . Применив первый закон Кирхгофа, получим

 

Откуда , где – искомая сила тока (символом  обозначена сила тока, идущего от узла  к узлу  у).

Для падения напряжения  от узла  к узлу у имеем

 .

Согласно второму закону Кирхгофа электродвижущая сила в цепи равна сумме падений напряжения на индуктивности, сопротивлении и емкости

 . (1)

Получилось интегро-дифференциальное уравнение, которое относится к одному из наиболее сложных типов уравнений.

Продифференцировав уравнение (1), придем к обычному дифференциальному уравнению для определения силы тока для

 . (2)

Замечание. Если общее решение линейного уравнение

, (3)

имеет вид , где общее решение уравнения 

– периодическое с периодом – частное решение уравнения (3), то говорят, что решение – описывает переходный режим, а решение – установившийся режим .

Можно доказать, что если все корни характеристического уравнения  оператора  имеют отрицательные действительные части, то уравнение (3) имеет единственное – периодическое (установившееся) решение.

в) упругие колебания материальной точки массы m около положения равновесия

 


 a m

 

 

– отклонение от положения равновесия

, где  - сила упругости.

Обозначая , получим - свободные упругие колебания;

г) задача о радиоактивном распаде.

Из опыта известно, что скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна количеству вещества в данный момент. Если  – количество вещества, то . Берется знак «минус», т. к. количество вещества уменьшается. Интегрируя, получим  – решение уравнения;

д) системы дифференциальных уравнений.

При описании некоторых процессов получаются системы д.у. Например, в химической кинетике получается система уравнений следующего вида: пусть  и – концентрации двух веществ, участвующих в реакции, тогда

 ,

где – константы.

На главную