Математика. Контрольная

Геометрические приложения.

В геометрических задачах, в которых требуется найти уравнение кривой по данному свойству ее касательной, нормали или площади криволинейной трапеции, используется геометрическое истолкование производной (угловой коэффициент касательной) и интеграл с переменным пределом (площадь криволинейной трапеции с подвижной ограничивающей ординатой), а так же следующие общие формулы для определения длин отрезков касательной t , нормали n, подкасательной St и поднормали Sn.

 


 М

 

 t y n

 St x Sn

,

 .

Пример 21. Найти такую кривую, проходящую через точку (0, - 2), чтобы угловой коэффициент касательной в любой ее точке равнялся ординате этой точки, увеличенной в три раза.

Решение.

Допустим, что искомая кривая описывается функций . Найдем ее. Угловой коэффициент   равен . Имеем  и начальное условие . Решим уравнение   или . Используя начальное условие, получим .

Пример 22. материальная точка массой кг движется прямолинейно под действием силы, прямо пропорциональной времени, отсчитываемому от момента , и обратно пропорционально скорости движения точки. В момент  с скорости равнялась  м/с , а сила  Н. Какова будет скорость спустя минуту после начала движения?

Решение.

По второму закону Ньютона , где k – коэффициент пропорциональности. Найдем  k из условия, что в момент  скорость равнялась  м/с, а сила  Н, .

Имеем . Решим уравнение .Произвольную постоянную С найдем из условия: в момент  скорость , т.е. .

Найдем скорость, которая будет спустя минуту после начала движения:

.

Пример 23. Тело массы  скользит по горизонтальной плоскости под действием толчка, давшего начальную скорость . На тело действует сила трения, равная . Найти расстояние, которое тело способно пройти.

Решение.

Уравнение движения имеет вид . Найдем решение этого уравнения при начальных  . Имеем  

  найдем из начальных условий: . Получим . Найдем момент времени t, при котором тело остановится: . За время  пройденный путь .

Пример 24. К источнику с э. д. с. равной  подключается контур, состоящий из последовательно соединенных катушки индуктивности L, омического сопротивления  R и емкости С. Найти ток I в цепи как функцию времени t, если в начальный момент ток в контуре и заряд конденсатора равны нулю.

Решение.

По условию задачи . В этом случае  и уравнение (2) получается однородным

  (4)

Уравнение (4) аналогично уравнению свободных механических колебаний с учетом сопротивления среды. Решим уравнение (4).

Характеристическое уравнение

имеет корни .

Если , то оба корня  действительные и общее решение есть функция непериодическая. Соответственно апериодическим будет и ток. Никаких электрических колебаний в цепи не произойдет так же и при .

Если же , то корни х.у. будут комплексно-сопряженными и общее решение ,

где положено , определяет электрические колебания.

 , откуда ,

и, таким образом, начальные условия запишутся в виде

 . (5) 

 найдем, используя начальные условия (5)

 .

Таким образом .

На главную